Меню

Аналитические зависимости между нормальными напряжениями

iSopromat.ru

Рассмотрим понятие о напряженном состоянии в точке и гипотезы прочности. Связь между напряжениями и внутренними силами. Объемное, плоское и линейное напряженное состояния.

Понятие о напряжениях в точке

На основании допущения о сплошности тела можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению.

Выделим в произвольной точке малую площадку ΔA, а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ΔR. Отношение

представляет собой среднее напряжение на данной площадке.

Если площадку ΔA уменьшить, то в пределе получим полное напряжение в точке

Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора полного напряжения р на нормаль обозначается через σ и называется нормальным напряжением.

Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются τ. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения σ и τ снабжаются системой индексов.

Связь между напряжениями и внутренними силами

Установим связь между напряжениями и внутренними силами, возникающими в поперечном сечении стержня. Для этой цели выделим на сечении бесконечно малую площадку dA и приложим к ней элементарные силы σ dA, τx dA, τy dA.

Знак «А» у интеграла показывает, что интегрирование проводится по всей площади поперечного сечения. Приведённые формулы позволяют определить равнодействующие внутренних сил через напряжения, если известен закон распределения последних по сечению.

Обратную задачу с помощью только одних этих уравнений решить нельзя, так как одной и той же величине внутреннего усилия, например N, могут соответствовать различные законы распределения нормальных напряжений по сечению.

Одной из основных задач сопротивления материалов является задача об определении напряжений через равнодействующие внутренних сил. При этом оказывается, что решить эту задачу можно только, рассматривая параллельно с условиями равновесия и условия деформации бруса.

Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если

Относительное изменение объема:

где К – модуль объемной упругости,

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.3).

Напряжения на наклонной площадке (рис. 3.4,а)

Величина и направление главных напряжений (рис. 3.4,б)

Линейное напряженное состояние

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два главных напряжения равны нулю.

Проверка прочности при линейном напряженном состоянии проводится по условию прочности:

В сложном напряженном состоянии проверку прочности проводят по гипотезам прочности по эквивалентному напряжению:

Величина σэкв определяется, исходя из принятого критерия эквивалентности, лежащего в основе одной из гипотез разрушения или гипотез прочности, при котором сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным ему растяжением или сжатием.

Гипотезы прочности

Существует 5 гипотез прочности:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

3.1. Компоненты напряжений. Виды напряжённых состояний

Центральное растяжение или сжатие бруса является самым простым видом деформации тела, когда напряжение во всех его точках одинаково (однородное напряжённое состояние). В произвольным образом нагруженном теле (рис.3.1,а) напряжение меняется от точки к точке и поэтому в произвольном сечении m-n этого тела напряжения распределены неравномерно. В этом случае при изучении распределения напряжений в окрестности произвольной точки K рассматриваемого сечения m-n мысленно вырезают бесконечно малый параллелепипед (рис.3.1,б). Ввиду его малости можно считать, что по граням напряжения распределены равномерно. На рис.3.1,в показаны напряжения, действующие по граням бесконечно малого параллелепипеда.

Читайте также:  Прогрессирующая стенокардия напряжения синдромы

σх – нормальное напряжение, действующее по направлению оси x; положительное при растяжении, отрицательное при сжатии;

τху – касательное напряжение, действующее по площадке с нормалью х (первый индекс) в направлении оси у (второй индекс); положительно, если стремится развернуть элемент по часовой стрелке (глядя со стороны положительного направления оси).

На рис.3.1,в нормальные напряжения σх, σу и σz положительные, касательные напряжения τху 0. Под действием приложенных к нему напряжений элемент должен находиться в равновесии, следовательно, для него можно записать уравнения статики. Покажем напряжения, дающие момент относительно оси OZ (рис.3.2) и запишем соответствующее уравнение статики:

∑ Moz = 0: ; (3.1)

Учитывая правило знаков, перепишем формулу (3.1)

Формула (3.2) выражает закон парности касательных напряжений: на любых взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения с одноимёнными индексами равны по величине и вращают элемент в противоположные стороны.

Таким образом, шесть независимых компонентов напряжений σх, σу, σz, τху, τух, τzx – характеризуют напряжённое состояние в точке.

Напряжённым состоянием в точке называется совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведённым через эту точку.

При повороте бесконечно малого параллелепипеда меняются компоненты напряжённого состояния. Всегда можно найти такое его положение, что по граням (площадкам) параллелепипеда будут действовать только нормальные напряжения. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения, по ним действующие, называются главными нормальными напряжениями (рис.3.3).

Это положение доказывается в теории упругости. Главные нормальные напряжения принято обозначать цифровыми индексами по следующему правилу: σ1 > σ2 > σ3. Соблюдение этого правила важно с точки зрения расчёта на прочность. Например: три главных напряжения имеют значения 120 МПа, – 50МПа и – 30 МПа; их надо записать σ1 = 120 МПа, σ2 = – 30 МПа и σ3 = – 50 МПа.

Напряжённое состояние в точке классифицируется на три вида: линейное (одноосное), плоское (двухосное) и объёмное (трёхосное) в зависимости от того, испытывает ли параллелепипед растяжение (сжатие) в одном, двух или трёх взаимно перпендикулярных направлениях (рис.3.4).

3.2. Линейное напряжённое состояние

Линейное напряжённое состояние имеет место в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие, а также в некоторых точках стержня, работающего на изгиб. Рассмотрим растяжение стержня. Как указывалось в главе 2, в поперечных сечениях, удалённых от точек приложения внешних сил, нормальные напряжения распределены равномерно и равны (рис.3.5,а)

. (3.3)

Эти напряжения являются главными, т.к. касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Напряжённое состояние при растяжении является однородным, поэтому размеры выделяемых элементов не играют никакой роли. Определим напряжения, действующие по наклонной площадке. Наклон площадки определяется острым углом α между направлением оси стержня и нормалью nα к площадке. Условимся считать угол α положительным, если он отсчитывается против часовой стрелки (рис.3.5,а). Элемент, находящийся в линейном напряжённом состоянии, изображаем в виде плоской фигуры, помня, однако, что в действительности он имеет вид, показанный на рис.3.4,а.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, отсечённой наклонной площадкой (рис.3.5,б). По наклонной площадке, площадь которой равна Fα, равномерно распределены напряжения pα, параллельные осевой силе N = P, следовательно, результирующая этих напряжений

Читайте также:  Механическое напряжение отвечающее мах нагрузке которую выдерживает образец при растяжении

Отсюда найдём pα, подсчитав предварительно

.

Проектируя pα на нормаль nα и на плоскость сечения, получим выражения для нормальных и касательных напряжений по наклонной площадке:

. (3.5)

Как видно из формул (3.4) и (3.5), при α = 0 ® τα = 0 и σα = σ1, при α = π/2 ® σα = 0 и τα = 0. Таким образом, при растяжении действительно имеет место линейное напряжённое состояние: σ1 = N/F, σ2 = σ3 = 0. При сжатии σ3 = – N/F, σ1 = σ2 = 0.

Из выражения (3.5) видно, что касательные напряжения достигают своей наибольшей величины при α = ± 45 0 , причём

. (3.6)

Определим теперь напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной заданной наклонной, α1 = α + 90 0 (рис.3.5,в):

.

. (3.8)

3.3. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние встречается в деталях машин и в строительных конструкциях очень часто. Например, это стержень при кручении (рис.3.6,а) и изгибе (рис.3.6,б), тонкостенный сосуд под действием внутреннего давления (рис.3.6,в).

Плоское напряжённое состояние также имеет место в тонкой пластине, нагруженной силами, параллельными её плоскости и равномерно распределёнными по толщине (рис.3.7): σх ≠ 0, σу ≠ 0, τху ≠ 0, σz = τzx = τzy = 0.

Рассмотрим два аспекта задачи о плоском напряжённом состоянии: найдём напряжения, действующие по наклонной площадке (прямая задача), и найдём величины и направления главных напряжений (обратная задача).

Дано: напряжения σх, σу, τху, угол α > 0 (рис.3.8,а).

Определить: напряжения σα и τα (рис.3.8,б).

Рассмотрим равновесие элемента abc. При записи уравнений статики будем определять силу как произведение напряжения на площадь соответствующей грани:

площадь наклонной грани bc = dF;

площадь прямой грани ab = dF ∙ cos α;

площадь прямой грани ac = dF ∙ sin α..

Теперь запишем уравнения проекций всех сил, действующих на элемент abc, на нормаль к наклонной площадке и на ось, совпадающую с этой площадкой (рис.3.8,в).

∑n = 0: σαdF – σx dF cos α ∙ cos α – σу dF sin α ∙ sin α + τxу dF cos α ∙ sin α + τух dF sin α ∙ cos α = 0,

∑t = 0: ταdF + σу dF sin α ∙ cos α + τуx dF sin α ∙ sin α – τxу dF cos α ∙ cos α – σх dF cos α ∙ sin α = 0.

После несложных преобразований и сокращения на dF получаем следующие выражения:

σα = σх cos 2 α + σy sin 2 α – τxy sin 2α , (3.9)

. (3.10)

Если исходные площадки являются главными (рис.3.9), то формулы (3.9) и (3.10) упрощаются: σα = σ1cos 2 α + σ2sin 2 , (3.11) . (3.12) Из формулы (3.12) следует, что наибольшее касательное напряжение действует по площадке, наклонённой под углом 45 0 к главным площадкам: . (3.13) Рис.3.9

Преобразуем формулу (3.9), используя выражение для тригонометрических функций

и .

. (3.14)

Теперь определим напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной к заданной: α1 = α + 90 0 . Воспользуемся формулой (3.14), учитывая, что cos 2α1 = – cos 2α и sin 2α1 = – sin 2α. Получим

. (3.15)

Сложим (3.14) и (3.15), чтобы найти сумму нормальных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам.

т.е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам инвариантна по отношению к наклону этих площадок.

Читайте также:  Двуполярного напряжения схемы питания

Определить: положение главных площадок и величины главных напряжений σ1 и σ2.

По определению на главных площадках τα = 0. Из формулы (3.10) найдём угол α между осью х и одним из главных напряжений.

,

. (3.17)

Величины главных напряжений можно найти по формулам (3.14) и (3.15), подставив в них α. Удобнее иметь формулы для главных напряжений, не зависящие от углов и тригонометрических функций. Для вывода используем зависимости косинуса и синуса двойного угла от тангенса

, .

Подставим их в формулу (3.14):

. (*)

Теперь в выражение (*) подставим tg 2α по формуле (3.17) и получим значение большего главного напряжения

.

Второе главное напряжение получим, используя формулу (3.15). В результате выражение для главных напряжений при плоском напряжённом состоянии имеет следующий вид:

. (3.18)

Для определения σmax после первого слагаемого ставим «+», а для определения σmin ставим «–». Следует обратить внимание на то, что если одно из главных напряжений, вычисленных по формуле (3.18), окажется отрицательным, то их следует обозначить σ1 и σ3. Если же оба главных напряжений окажутся отрицательными, то σ2 и σ3; оба положительными, то σ1 и σ2.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности – одно из них наибольшее, другое – наименьшее из всех возможных в данной точке тела (помним о том, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках постоянна). Для доказательства исследуем на экстремум функцию σα (формула 3.9). Продифференцируем её и приравняем производную нулю.

®

® – 2τxy cos 2α = (σx – σy)sin 2α ® .

Площадки, характеризуемые этими углами, являются главными в соответствии с формулой (3.17).

3.4. Объёмное напряжённое состояние. Общие понятия

Объёмное напряжённое состояние встречается реже, чем плоское. Пример – толстостенный сосуд давления (рис.3.10). Подробным образом изучают объёмное напряжённое состояние в курсе теории упругости, в сопротивлении материалов – только основные понятия.

Рассмотрим объёмное напряжённое состояние, заданное главными напряжениями (рис.3.11).

Напряжения, действующие по наклонной площадке с нормалью n, находятся по формулам

. (3.20)

Эти формулы приведены без вывода. В них α1, α2, α3 – углы, которые образуют нормаль к площадке n с осями x, y, z соответственно.

Если наклонная площадка параллельна одному из главных напряжений, то напряжения, по ней действующие, не зависят от этого главного напряжения. Они определяются по формулам плоского напряженного состояния в зависимости от двух других главным напряжений. Учитывая, что главные напряжения экстремальные, т.е. σ1 = σmax и σ3 = σmin, легко найти наибольшее касательное напряжение. Очевидно, оно действует по площадке, параллельной σ2 и наклоненной под углом 45 0 к σ1 и σ3 (рис.3.12). Определяется формулой (3.13)

. (3.21)

Известный интерес, особенно при изучении пластических деформаций, представляют напряжения, действующие по площадке, равнонаклонённой ко всем главным направлениям. Такая площадка называется октаэдрической, поскольку она параллельна грани октаэдра, который может быть образован из куба. Нормаль к этой площадке образует равные углы с главными направлениями:

Тогда из формул (3.19) и (3.20) находим

, (3.22)

. (3.23)

При изучении вопросов прочности деформация бесконечно малого элемента разделяется на деформацию изменения объёма и деформацию искажения формы. Оказывается, что σокт «ответственно» за изменение объёма, а τокт – за изменение формы.

Напряжение σокт представляет собой среднее напряжение для данного объемного напряженного состояния, σокт = σср

3.5.Деформации при объёмном напряжённом состоянии.

Источник

Adblock
detector