Меню

Давление по тензору напряжений

Давление по тензору напряжений

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами nx, ny, nz. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадке разложен па составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рx вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

Источник

Тензор вязких напряжений — Viscous stress tensor

Тензор вязких напряжений является тензор используется в механике сплошной среды , чтобы моделировать часть напряжения в точке в пределах некоторого материала , который можно отнести к скорости деформации , то скорость , с которой она деформируя вокруг этой точки.

Тензор вязких напряжений формально аналогичен тензору упругих напряжений (тензору Коши), который описывает внутренние силы в упругом материале из-за его деформации. Оба тензоры отображают нормальный вектор на виде элемента поверхности к плотности и направление напряжения , действующего на этой поверхности элемента. Однако упругое напряжение обусловлено величиной деформации ( деформации ), а вязкое напряжение — скоростью изменения деформации во времени (скоростью деформации). В вязкоупругих материалах, поведение которых является промежуточным между поведением жидкостей и твердых тел, тензор полного напряжения включает как вязкую, так и упругую («статическую») составляющие. Для полностью жидкого материала термин «упругость» сводится к гидростатическому давлению .

В произвольной системе координат вязкое напряжение ε и скорость деформации E в конкретный момент и время могут быть представлены матрицами вещественных чисел размером 3 × 3 . Во многих ситуациях между этими матрицами существует приблизительно линейная связь; то есть тензор вязкости четвертого порядка μ такой, что ε = μE . Тензор μ имеет четыре индекса и состоит из 3 × 3 × 3 × 3 действительных чисел (из которых только 21 независимый). В ньютоновской жидкости , по определению, связь между ε и E совершенно линейна, а тензор вязкости μ не зависит от состояния движения или напряжения в жидкости. Если жидкость является изотропной, а также ньютоновской, тензор вязкости μ будет иметь только три независимых реальных параметра: коэффициент объемной вязкости , который определяет сопротивление среды постепенному равномерному сжатию; коэффициент динамической вязкости, который выражает сопротивление постепенному сдвигу, и коэффициент вращательной вязкости, который является результатом связи между потоком жидкости и вращением отдельных частиц. В отсутствие такой связи тензор вязких напряжений будет иметь только два независимых параметра и будет симметричным. В неньютоновских жидкостях , с другой стороны, соотношение между е и Е может быть чрезвычайно нелинейно, и ε может даже зависеть от других характеристик потока , кроме Е .

Читайте также:  Стабилизатор напряжения 3ф сни3 45ква

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Вязкое напряжение в сравнении с упругим напряжением

Внутренние механические напряжения в сплошной среде обычно связаны с деформацией материала из некоторого «расслабленного» (ненапряженного) состояния. Эти напряжения обычно включают в себя компонент упругого («статического») напряжения , который связан с текущей степенью деформации и действует для восстановления материала в его состояние покоя; и компонент вязкого напряжения , который зависит от скорости, с которой деформация изменяется со временем, и противодействует этому изменению.

Тензор вязких напряжений

Подобно полному и упругому напряжениям, вязкое напряжение вокруг определенной точки в материале в любое время может быть смоделировано тензором напряжений, линейной зависимостью между вектором нормального направления идеальной плоскости, проходящей через точку, и локальной плотностью напряжений. на том самолете в тот момент.

В любой выбранной системе координат с осями, пронумерованными 1, 2, 3, этот тензор вязких напряжений может быть представлен в виде матрицы вещественных чисел 3 × 3 :

ε ( п , т ) знак равно [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 год ε 22 ε 23 ε 31 год ε 32 ε 33 ] . <\ displaystyle \ varepsilon (p, t) = <\ begin \ varepsilon _ <11>& \ varepsilon _ <12>& \ varepsilon _ <13>\\\ varepsilon _ <21>& \ varepsilon _ < 22>& \ varepsilon _ <23>\\\ varepsilon _ <31>& \ varepsilon _ <32>& \ varepsilon _ <33>\ end > \ ,.>

Обратите внимание, что эти числа обычно меняются с точкой p и временем t .

Рассмотрим бесконечно малый элемент плоской поверхности с центром в точке p , представленный вектором dA , длина которого равна площади элемента, а направление перпендикулярно ему. Пусть dF будет бесконечно малой силой из-за вязкого напряжения, которое приложено через этот элемент поверхности к материалу на стороне, противоположной dA . Компоненты dF вдоль каждой координатной оси тогда задаются выражением

d F я знак равно ∑ j ε я j d А j . <\ displaystyle dF_ = \ sum _ \ varepsilon _ \, dA_ \ ,.>

В любом материале тензор общих напряжений σ является суммой этого тензора вязких напряжений ε , тензора упругих напряжений τ и гидростатического давления p . В идеально текучем материале, который по определению не может иметь статического напряжения сдвига, тензор упругих напряжений равен нулю:

σ я j знак равно — п δ я j + ε я j , <\ displaystyle \ sigma _ = — p \ delta _ + \ varepsilon _ \ ,,>

В то время как вязкие напряжения создаются физическими явлениями, которые сильно зависят от природы среды, тензор вязких напряжений ε является только описанием локальных мгновенных сил между соседними частями материала, а не свойством материала.

Симметрия

Игнорируя крутящий момент на элементе из-за потока («внешний» крутящий момент), вязкий «собственный» крутящий момент на единицу объема на жидком элементе записывается (как антисимметричный тензор) как

τ я j знак равно ε я j — ε j я <\ displaystyle \ tau _ = \ varepsilon _ — \ varepsilon _ >

и представляет собой скорость изменения собственной плотности углового момента со временем. Если частицы имеют вращательные степени свободы, это будет означать собственный угловой момент, и если этот угловой момент может быть изменен столкновениями, возможно, что этот собственный угловой момент может измениться во времени, что приведет к собственному крутящему моменту, который не равен нулю, что будет означать, что тензор вязких напряжений будет иметь антисимметричный компонент с соответствующим коэффициентом вращательной вязкости . Если частицы жидкости имеют пренебрежимо малый угловой момент или если их угловой момент существенно не связан с внешним угловым моментом, или если время уравновешивания между внешней и внутренней степенями свободы практически равно нулю, крутящий момент будет равен нулю и тензор вязких напряжений будет симметричным. Внешние силы могут привести к асимметричной составляющей тензора напряжений (например, ферромагнитные жидкости, которые могут испытывать крутящий момент из-за внешних магнитных полей ).

Физические причины вязкого напряжения

В твердом материале упругая составляющая напряжения может быть приписана деформации связей между атомами и молекулами материала и может включать в себя напряжения сдвига . В жидкости упругое напряжение может быть связано с увеличением или уменьшением среднего расстояния между частицами, что влияет на скорость их столкновения или взаимодействия и, следовательно, на передачу импульса через жидкость; поэтому оно связано с микроскопической тепловой случайной составляющей движения частиц и проявляется как изотропное напряжение гидростатического давления .

Читайте также:  Коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины формула

С другой стороны, вязкая составляющая напряжения возникает из-за макроскопической средней скорости частиц. Это может быть связано с трением или диффузией частиц между соседними частями среды, которые имеют разные средние скорости.

Уравнение вязкости

Тензор скорости деформации

В плавном потоке скорость, с которой локальная деформация среды изменяется во времени (скорость деформации), может быть аппроксимирована тензором скорости деформации E ( p , t ) , который обычно является функцией точки p и времени т . По отношению к любой системе координат это может быть выражено матрицей 3 × 3.

Тензор скоростей деформации Е ( р , т ) может быть определен как производная от тензора деформации е ( р , т ) по времени, или, что то же самое, как симметричная часть градиента (производной по пространству) из вектор скорости потока v ( p , t ) :

E знак равно ∂ е ∂ т знак равно 1 2 ( ( ∇ v ) + ( ∇ v ) Т ) , <\ displaystyle E = <\ frac <\ partial e><\ partial t>> = <\ frac <1><2>> \ left ((\ nabla v) + (\ nabla v) ^ <\ textf >\верно)\,,>

где ∇ v обозначает градиент скорости. В декартовых координатах ∇ v — матрица Якоби ,

( ∇ v ) я j знак равно ∂ v я ∂ Икс j <\ displaystyle (\ nabla v) _ = <\ frac <\ partial v_ > <\ partial x_ >>>

E я j знак равно ∂ е я j ∂ т знак равно 1 2 ( ∂ v j ∂ Икс я + ∂ v я ∂ Икс j ) . <\ displaystyle E_ = <\ frac <\ partial e_ > <\ partial t>> = <\ frac <1><2>> \ left (<\ frac <\ partial v_ >) <\ partial x_ >> + <\ frac <\ partial v_ > <\ partial x_ >> \ right) \ ,.>

В любом случае тензор скорости деформации E ( p , t ) выражает скорость, с которой средняя скорость изменяется в среде при удалении от точки p — за исключением изменений, вызванных вращением среды вокруг точки p как твердого тела. , которые не изменяют относительные расстояния между частицами и вносят вклад только во вращательную часть вязкого напряжения за счет вращения самих отдельных частиц. (Эти изменения включают завихренность потока, которая представляет собой завихрение (вращательное) ∇ × v скорости, которое также является антисимметричной частью градиента скорости ∇ v .)

Общие потоки

Тензор вязких напряжений является только линейной аппроксимацией напряжений вокруг точки p и не учитывает члены более высокого порядка своего ряда Тейлора . Однако почти во всех практических ситуациях этими членами можно пренебречь, поскольку они становятся незначительными в масштабах размеров, где возникает вязкое напряжение и влияет на движение среды. То же самое можно сказать о тензоре скорости деформации E как о представлении картины скорости вокруг p .

Таким образом, линейных моделей, представленных тензорами E и ε , почти всегда достаточно для описания вязкого напряжения и скорости деформации вокруг точки с целью моделирования ее динамики . В частности, локальная скорость деформации E ( p , t ) является единственным свойством скоростного потока, которое напрямую влияет на вязкое напряжение ε ( p , t ) в данной точке.

С другой стороны, связь между E и ε может быть довольно сложной и сильно зависит от состава, физического состояния и микроскопической структуры материала. Это также часто бывает очень нелинейным и может зависеть от деформаций и напряжений, которые ранее испытывал материал, который сейчас находится вокруг рассматриваемой точки.

Общие ньютоновские СМИ

Среда называется ньютоновской, если вязкое напряжение ε ( p , t ) является линейной функцией скорости деформации E ( p , t ) , и в остальном эта функция не зависит от напряжений и движения жидкости вокруг p . Никакая реальная жидкость не является полностью ньютоновской, но можно предположить, что многие важные жидкости, включая газы и воду, являются таковыми, если напряжения потока и скорости деформации не слишком высоки.

В общем случае линейная связь между двумя тензорами второго порядка является тензором четвертого порядка. В частности, в ньютоновской среде вязкое напряжение и скорость деформации связаны тензором вязкости μ :

ε я j знак равно ∑ k л μ я j k л E k л . <\ displaystyle \ varepsilon _ = \ sum _ <\ boldsymbol <\ mu>> _ E_ \ ,.>

Читайте также:  Мегаомметр напряжением до 2500в

Коэффициент вязкости μ — это свойство ньютоновского материала, которое по определению не зависит от v или σ .

Тензор скорости деформации E ( p , t ) по определению симметричен, поэтому он имеет только шесть линейно независимых элементов. Следовательно, тензор вязкости μ имеет только 6 × 9 = 54 степени свободы, а не 81. В большинстве жидкостей тензор вязких напряжений также является симметричным, что дополнительно снижает количество параметров вязкости до 6 × 6 = 36.

Сдвиг и объемное вязкое напряжение

При отсутствии вращательных эффектов тензор вязких напряжений будет симметричным. Как и в случае любого симметричного тензора, вязкий тензор напряжения ε может быть выражена как сумма бесследовый симметричный тензор ε s , а скалярное кратное ε v тензора идентичности. В координатной форме

ε я j знак равно ε я j v + ε я j s ε я j v знак равно 1 3 δ я j ∑ k ε k k ε я j s знак равно ε я j — 1 3 δ я j ∑ k ε k k . <\ displaystyle <\ begin \ varepsilon _ & = \ varepsilon _ ^ <\ text > + \ varepsilon _ ^ <\ text > \\ [3pt ] \ varepsilon _ ^ <\ text > & = <\ frac <1><3>> \ delta _ \ sum _ \ varepsilon _ \\\ varepsilon _ ^ <\ text > & = \ varepsilon _ — <\ frac <1><3>> \ delta _ \ sum _ \ varepsilon _ \, . \ end <выровнено>>>

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физическое значение. Постоянная часть ε v тензора вязких напряжений проявляется как своего рода давление или объемное напряжение, которое действует одинаково и перпендикулярно на любую поверхность независимо от ее ориентации. В отличие от обычного гидростатического давления, оно может появиться только при изменении деформации, противодействуя изменению; и это может быть отрицательно.

Изотропный ньютоновский случай

В изотропной ньютоновской среде (т. Е. Свойства которой одинаковы во всех направлениях) каждая часть тензора напряжений связана с соответствующей частью тензора скорости деформации.

ε v ( п , т ) знак равно μ v E v ( п , т ) , ε s ( п , т ) знак равно μ s E s ( п , т ) , <\ displaystyle <\ begin \ varepsilon ^ <\ text > (p, t) & = \ mu ^ <\ text > E ^ <\ text > (p, t) \ ,, \\\ varepsilon ^ <\ text > (p, t) & = \ mu ^ <\ text > E ^ <\ text > (p, t) \ ,, \ конец <выровнен>>>

где E v и E s — скалярная изотропная и бесследная части тензора скорости деформации E , а μ v и μ s — два действительных числа. Таким образом, в этом случае тензор вязкости μ имеет только два независимых параметра.

Нулевого след часть Х s из Й является симметричным 3 × 3 тензора , который описывает скорость , с которой среда деформируются путем сдвига, игнорируя любые изменения в его объеме. Таким образом, нулевой след часть ε s из й является знак вязкого напряжения сдвига , который связан с прогрессивной сдвиговой деформацией. Это вязкое напряжение, которое возникает в жидкости, движущейся через трубу с однородным поперечным сечением ( поток Пуазейля ) или между двумя параллельными движущимися пластинами ( поток Куэтта ), и сопротивляется этим движениям.

Часть Е V из Й действуют как скалярный множитель (как и е V ), среднюю скорость расширения среды вокруг рассматриваемой точки. (Он представлен в любой системе координат диагональной матрицей 3 × 3 с равными значениями по диагонали.) Численно он равен 1 / 3 о дивергенции скорости

∇ ⋅ v знак равно ∑ k ∂ v k ∂ Икс k , <\ displaystyle \ nabla \ cdot v = \ sum _ <\ frac <\ partial v_ > <\ partial x_ >> \ ,,>

что, в свою очередь, представляет собой относительную скорость изменения объема жидкости из-за потока.

Поэтому скалярная часть ε v из й является напряжением , которое можно наблюдать , когда материал сжимается или расширяется с той же скоростью во всех направлениях. Это проявляется как дополнительное давление, которое появляется только во время сжатия материала, но (в отличие от истинного гидростатического давления) пропорционально скорости изменения сжатия, а не величине сжатия, и исчезает, как только объем перестает изменяться.

Эта часть вязких напряжений, как правило , называется объемная вязкость или вязкость объема, часто является важным в вязкоупругих материалов, а также отвечает за ослабление из волн давления в среде. Объемной вязкостью можно пренебречь, если материал можно рассматривать как несжимаемый (например, при моделировании течения воды в канале).

Коэффициент µ v , часто обозначаемый η , называется коэффициентом объемной вязкости (или «второй вязкостью»); а μ s — коэффициент обычной (сдвиговой) вязкости.

Источник

Adblock
detector