Меню

Дифференциальное уравнение колебаний напряжения в колебательном контуре

Дифференциальное уравнение колебаний напряжения в колебательном контуре

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной \(RLC\)-цепи .

Напряжения \(,,,\) соответственно, на резисторе \(R,\) конденсаторе \(C\) и катушке индуктивности \(L\) выражаются формулами \[ <\left( t \right) = RI\left( t \right),>\;\; <\left( t \right) = \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\; <\left( t \right) = L\frac<><

>.> \] Из второго закона Кирхгофа следует, что \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = E\left( t \right),\] где \(E\left( t \right)\) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. \(E\) после подстановки выражений для \(,\) и \(,\) и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: \[\frac<<I\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I\left( t \right) = 0.\] Если ввести обозначения \(2\beta = <\large\frac\normalsize>,\;\omega _0^2 = <\large\frac<1><>\normalsize>,\) то уравнение записывается в виде \[\frac<<I>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2I = 0.\] Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке . Следовательно, в последовательной \(RLC\)-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную \(RLC\)-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление \(R,\) катушку индуктивности \(L\) и конденсатор \(C\) (рисунок \(2\)): \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = I\left( t \right).\] Учитывая, что \[ <= \frac,>\;\;\; <= \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\;\; <= C\frac<><

>,> \] для случая постоянного полного тока \(I\left( t \right) = \) получаем следующее дифференциальное уравнение \(2\)-го порядка относительно переменной \(V:\) \[ <\frac + \frac<1>\int\limits_0^t + C\frac<><
> = ,>\;\; <\Rightarrow C\frac<<V>><>> + \frac<1>\frac<><
> + \frac<1>V = 0.> \] Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных \(RLC\)-цепях .

Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре , которое записывается как \[\frac<<I>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I = 0.\] Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид \[ <\lambda ^2>+ \frac\lambda + \frac<1><> = 0.\] Его корни вычисляются по формулам: \[ <<\lambda _<1,2>> = \frac<< - \frac \pm \sqrt <\frac<<>><<>> — \frac<4><>> >> <2>> = < - \frac<<2L>> \pm \sqrt <<<\left( <\frac<<2L>>> \right)>^2> — \frac<1><>> > = < - \beta \pm \sqrt <<\beta ^2>— \omega _0^2> ,> \] где величина \(\beta = \large\frac<<2L>>\normalsize\) называется коэффициентом затухания , а \(<\omega_0>\) − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.

Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания . Если э.д.с. \(E\) источника тока изменяется по закону \[E\left( t \right) = \cos \omega t,\] то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде \[ <\frac<<q\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

Читайте также:  Допускаемые напряжения для осей
> + \frac<1><>q\left( t \right) = \frac<1>\cos \omega t>\;\; <\text<или>\;\;\frac<<q>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2q = \frac<<>>\cos \omega t,> \] где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac,\;\omega _0^2 = \frac<1><>.\)

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания . Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания . Эти вынужденные колебания будут происходить по закону \[ = <\frac<<>><> \right)>^2> + 4<\beta ^2><\omega ^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\omega \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right),> \] где фаза \(\varphi\) определяется формулой \[ <\varphi = \arctan \left( < - \frac<<2\beta \omega >><<\omega _0^2 - <\omega ^2>>>> \right) > = <\arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\) \[ ><

> > = < - \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\sin\left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos\left( <\omega t - \theta >\right),> \] где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = — \left( <\varphi + \frac<\pi ><2>> \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока \(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = \cos \omega t.\)

Амплитуда тока \(\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами \[ <= \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >> = \frac<<>>,>\;\;\; <\theta = \arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Величина \(Z = \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>\normalsize> \right)>^2>> \) называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления \(R\) и реактивного сопротивления \(<\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>>\normalsize\) Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как \[Z = R + i\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right).\] Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда \[\omega L = \frac<1><<\omega C>>\;\;\text<или>\;\;\omega = <\omega _0>= \frac<1> <<\sqrt >>.\] При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс . Резонансная частота \(<\omega_0>\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления \(R.\)

Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью \(Q,\) которая численно равна отношению резонансной частоты \(<\omega_0>\) к ширине резонансной кривой \(\Delta\omega\) на уровне убывания амплитуды в \(\sqrt 2\) раз (см. выше рисунок \(4\)).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле \[Q = \frac<1>\sqrt <\frac> .\] Для параллельной \(RLC\)-цепи добротность определяется обратным выражением: \[Q = R\sqrt <\frac> .\]

Читайте также:  Опель зафира напряжение сети

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \(\left( t \right)\).

Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением \[L\frac<><

> + RI = .\] В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения \(\) и частного решения неоднородного уравнения \(:\) \(I = + .\) Общее решение однородного уравнения \[L\frac<><
> + RI = 0\] выражается функцией \[\left( t \right) = At>>,\] где \(A\) − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения \(\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением \(R:\) \( = \frac<<>>.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону \[I\left( t \right) = + = At>> + \frac<<>>.\] Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( \right) = 0.\) Следовательно, \[ <0 = A \cdot 0>> + \frac<<>>,>\;\; <\Rightarrow A = - \frac<<>>.> \] Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону \[ >>t>> + \frac<<>> > = <\frac<<>>\left( <1 - t>>> \right) > = <\frac<<200>><<100>>\left( <1 - ><<50>>t>>> \right) > = <2\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text \right].> \] График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и конденсаторе \(\left( t \right)\).

Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.

Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа \[\left( t \right) + \left( t \right) = ,\] где напряжение на резисторе равно \[\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac<>><

>.\] В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи: \[RC\frac<>><
> + = .\] Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text<одн>\) и частного решения неоднородного уравнения \(.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде \[ >><
> + = 0,>\;\; <\Rightarrow \frac<>><
> = — \frac<1><>,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<>><<>>> = — \frac<1><>\int

,>\;\; <\Rightarrow \ln = — \frac<>,>\;\; <\Rightarrow > = A<>\normalsize>>,> \] где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \(<\large\frac<>><

>\normalsize> = 0.\) Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть \( = .\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением \[\left( t \right) = A<>\normalsize>> + .\] С учетом начального условия \(\left( \right) = 0\) находим постоянную \(A:\) \[0 = A \cdot 1 + ,\;\; \Rightarrow A = — .\] Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: \[ <\left( t \right) = — <>\normalsize>> + > = <\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <200\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text <В>\right].> \] Напряжение на резисторе определяется формулой \[ <\left( t \right) = RC\frac<>><
Читайте также:  Измерение времени нарастания выходного напряжения оу
> > = \frac<
>\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <\cancel \cdot \frac<1><\cancel><>\normalsize>> > = <<>\normalsize>> = 200>\;\left[ \text <В>\right].> \] Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону \[ I\left( t \right) = \frac<<\left( t \right)>> = \frac<<>><>\normalsize>> = \frac<<200>><<100>>> = 2>\;\left[ \text \right]. \] Графики изменения напряжений \(\left( t \right),\) \(\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\) показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)

Источник

Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре.

Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность L, емкость С и сопротивление R, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры. Параметры R, L и С линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.

При отсутствии потерь (R = 0) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предвари­тельно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию Wp, и переводят переключатель в положение 2.

После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, пре­пятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля Wм. Полная энергия W электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Пол­ная энергия, в силу закона сохранения энергии, равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:

,

где L — индуктивность катушки, I и Im — сила тока и ее максимальное значение, q и qm — заряд конденсатора и его максимальное значение, С — емкость конденсатора.

Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденса­тора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза матема­тического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.

Ниже приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.

Источник

Adblock
detector