Меню

Главные напряжения для объемного напряженного состояния

iSopromat.ru

Главными называют нормальные напряжения на площадках рассматриваемого элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элемента, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0)

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные напряжения – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с индексом 1, 2 и 3.

При этом наибольшее, с учетом знака, напряжение обозначается как σ1 а наименьшее соответственно σ3.

Другими словами, главное напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ1, а то, которое левее всех σ3.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

  1. Когда оба напряжения растягивающие
  2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее
  3. Оба напряжения сжимающие.

При линейном напряженном состоянии единственное напряжение всегда обозначается как σ1 или просто σ.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Рассмотрим понятие о напряженном состоянии в точке и гипотезы прочности. Связь между напряжениями и внутренними силами. Объемное, плоское и линейное напряженное состояния.

Понятие о напряжениях в точке

На основании допущения о сплошности тела можно считать, что внутренние силы непрерывно распределены по всему сечению.

Выделим в произвольной точке малую площадку ΔA, а равнодействующую внутренних сил на этой площадке обозначим ΔR. Отношение

представляет собой среднее напряжение на данной площадке.

Если площадку ΔA уменьшить, то в пределе получим полное напряжение в точке

Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора полного напряжения р на нормаль обозначается через σ и называется нормальным напряжением.

Составляющие в плоскости сечения называются касательными напряжениями и обозначаются τ. В зависимости от расположения и наименования осей обозначения σ и τ снабжаются системой индексов.

Связь между напряжениями и внутренними силами

Установим связь между напряжениями и внутренними силами, возникающими в поперечном сечении стержня. Для этой цели выделим на сечении бесконечно малую площадку dA и приложим к ней элементарные силы σ dA, τx dA, τy dA.

Знак «А» у интеграла показывает, что интегрирование проводится по всей площади поперечного сечения. Приведённые формулы позволяют определить равнодействующие внутренних сил через напряжения, если известен закон распределения последних по сечению.

Обратную задачу с помощью только одних этих уравнений решить нельзя, так как одной и той же величине внутреннего усилия, например N, могут соответствовать различные законы распределения нормальных напряжений по сечению.

Читайте также:  Номинальное рабочее напряжение первичной обмотки трансформатора напряжения

Одной из основных задач сопротивления материалов является задача об определении напряжений через равнодействующие внутренних сил. При этом оказывается, что решить эту задачу можно только, рассматривая параллельно с условиями равновесия и условия деформации бруса.

Объемное напряженное состояние

Совокупность напряжений, действующих по площадкам, проведенным через исследуемую точку, составляет напряженное состояние в рассматриваемой точке. На площадках общего положения действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

Значения касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках подчиняются закону парности касательных напряжений:

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями (рис. 3.2).

Обозначение главных напряжений:

Напряженное состояние называется объемным или трехосным, если

Относительное изменение объема:

где К – модуль объемной упругости,

Удельная потенциальная энергия упругой деформации:

Плоское напряженное состояние

Напряженное состояние называется плоским или двухосным, если одно из главных напряжений равно нулю (рис. 3.3).

Напряжения на наклонной площадке (рис. 3.4,а)

Величина и направление главных напряжений (рис. 3.4,б)

Линейное напряженное состояние

Напряженное состояние называется линейным или одноосным, если два главных напряжения равны нулю.

Проверка прочности при линейном напряженном состоянии проводится по условию прочности:

В сложном напряженном состоянии проверку прочности проводят по гипотезам прочности по эквивалентному напряжению:

Величина σэкв определяется, исходя из принятого критерия эквивалентности, лежащего в основе одной из гипотез разрушения или гипотез прочности, при котором сложное напряженное состояние заменяется эквивалентным ему растяжением или сжатием.

Гипотезы прочности

Существует 5 гипотез прочности:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Главные напряжения для объемного напряженного состояния

Определения. Ранее указывалось, что в любой точке нагружаемого тела существуют три главные площадки, в которых действуют главные (нормальные) напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние в точке называется объемным или трехмерным. При условии равенства нулю одного из главных напряжений напряженное состояние считается плоским или двумерным.

Наконец, при отличии от нуля только одного главного напряжения напряженное состояние будет линейным или одномерным.

Для анализа объемного напряженного состояния необходимо рассмотреть площадки произвольной ориентации, проходящие через данную точку тела.

Произвольная наклонная площадка.

Ранее при исследовании напряжений в наклонных (косых) площадках рассматривались площадки определенного вида — нормаль к ним лежала в плоскости х, у. Для плоского напряженного состояния этого было почти достаточно, но в общем случае требуется знание напряжений в произвольной наклонной площадке, заданной в выбранной системе координат.

Читайте также:  Время срабатывания реле утечки в зависимости от напряжения

Рассмотрим теперь элементарный четырехгранник (тетраэдр), построенный на осях прямоугольной системы координат с центром в точке А (рис. 2.21).

Произвольная косая площадка BCD характеризуется единичным вектором нормали v. Составляющие вектора по осям х, у и z равны :

По физическому смыслу величины являются косинусами углов вектора нормали v с осями координат:

Величины часто называются направляющими косинусами.

Если обозначить площадь наклонной грани то площадь грани

Для граней ABC и

Подобные соотношения в частном случае использовались ранее (уравнения (30)), а сейчас установим их с помощью наглядных физических представлений.

Из повседневного опыта ясно, что если поместить в жидкость тетраэдр из материала с тем же удельным весом, то он будет находиться в равновесии при любом давлении столба жидкости.

Так как размеры тетраэдра бесконечно малы, можно считать, что давление по веем его граням одинаково (рис 2.22).

Проектируя все силы на направление х, находим

Рис. 2.21. Произвольная косая площадка

Рис. 2.22. Частный случай равновесия тетраэдра; по всем граням действует одинаковое давление

Аналогично по другим осям

Конечно, последние соотношения можно было установить из чисто геометрических соображений, но проведенный анализ дает дополнительную информацию.

Если по трем взаимно перпендикулярным площадкам действуют одинаковые нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют, то в любой наклонной площадке действует то же нормальное напряжение и так же отсутствует касательное напряжение. Это пример, когда главных площадок оказывается бесконечно много.

Источник

Объемное напряженное состояние

Объ емным напряженным состоянием называют напряженное состояние, которое можно представить в виде трех ненулевых главных напряжений. Это напряженное состояние является общим случаем напряженного состояния тела в точке.

Обобщенный закон Гука

Напомним, что при одноосному растяжению или сжатию возникают деформации – продольные (в направлении действия силы) $\varepsilon = \sigma /E$ и поперечные (в двух других перпендикулярных направлениях) $\varepsilon ‘ = — \nu \cdot \varepsilon = — \nu \sigma /E$.

В случае действия трех главных напряжений $<\sigma _1>$, $<\sigma _2>$ и $<\sigma _3>$ от каждого из них будут возникать продольные и поперечные деформации. Например, от напряжения $<\sigma _2>$ будет возникать продольная деформация в направлении 2, которая равна $ <\varepsilon _2>= <\sigma _2>/E$ и поперечные деформации в направлениях 1 и 3 $ <\varepsilon _1>= <\varepsilon _3>= — \nu \cdot <\sigma _2>/E$. Таким образом, деформации в направлении главных осей от системы трех главных напряжений будут определяться так

Об ъе мная деформация. Объе мный закон Гука

Определим изменение объема тела, которое находится в условиях объемного напряженного состояния.

О бъем элементарного куба сторонами $dx$, $dy$ и $d$

После деформации, когда длина сторон куба изменилась на величину $\Delta x$, $\Delta y$ и $\Delta z$, об ’ ем

Читайте также:  Когда считается что с контактной сети снято напряжение

\[\begin = (dx + \Delta x) \cdot (dy + \Delta y) \cdot (dz + \Delta z) = \hfill \\ dx \cdot dy \cdot d + dx \cdot dy \cdot \Delta z + dx \cdot \Delta y \cdot d + \underline <\underline > + \hfill \\ + \Delta x \cdot dy \cdot d + \underline <\underline <\Delta x \cdot dy \cdot \Delta z>> + \underline <\underline <\Delta x \cdot \Delta y \cdot d>> + \underline <\underline <\underline <\Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z>> > \hfill \\ \end \]

Поскольку удлинения являются ничтожно малыми по сравнению с размерами элемента (например, $\Delta x

Абсолютное изменение о ’ объема

\[\Delta V = = dx \cdot dy \cdot \Delta z + dx \cdot \Delta y \cdot d + \Delta x \cdot dy \cdot d\]

Относительное изменение о ’ объема

Если подставить вдносні деформации из обобщенного закона Гука, получим

Если среднее арифметическое значение главных напряжений , то объемны й закон Гука можно записать так

,

где \[k = \frac <<3\left( <1 - 2\nu >\right)>>\] – модуль объемной деформации, а

Потенциальная энергия деформации

При деформации любого тела тратится определенное количество энергии, которая может превращаться в тепловую (при пластическом деформировании), или накапливаться внутри тела в виде внутренней энергии деформации (при упругом деформировании). В последнем случае при разгрузке тела эта накопленная внутренняя энергия выполняет работу.

Определим внутреннюю энергию, которая накапливается в стержне, растянутом силой $F$. Удлинение, которую приобретет стержень, определится по закону Гука

Работа, затраченные силой $F$ на перемещении $ \Delta l$, определяется как $F \cdot \Delta l$, но это справедливо только в случае, когда сила является неизменной в процессе удлинения стержня. На самом деле, значение силы изменяется от 0 до \[F\] пропорционально удлинению. Поэтому в случае деформирования тела работа, затраченные на деформирование, а вместе с ней и потенциальная энергия деформации будет определяться как

Удельная потенциальная энергия, которая накапливается в единице об ’ объема материала)

В случае действия касательных напряжений аналогично

В случае о ’ объемного напряженного состояния

При этом можно отдельно выделить потенциальную энергию, которая соответствует изменению о ’ объема тела

.

Зависимости между модулем упругости E и модулем сдвига G

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг, при котором на некоторых площадках возникают только касательные напряжения \[\tau \]. Ранее показано, что при чистом сдвиге главными площадками являются площадки, которые находятся под углом 45 в рассматриваемых. Главные напряжения при этом

Тогда потенциальная энергия деформации

Если рассмотреть ту же самую энергию на площадках, где возникают только касательные напряжения, то

Отсюда \[\frac<<1 + \nu >> <\tau ^2>= \frac<<<\tau ^2>>><<2G>>\], то есть между модулем упругости E, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона $\nu$ существует взаимозависимость

которая справедлива для всех изотропных материалов (материалов, деформівні свойства которых одинаковы во всех направлениях).

Источник

Adblock
detector