Меню

Главные напряжения или эквивалентные

Главные и эквивалентные напряжения

Рис. 1. Компоненты напряжений

Рис. 2. Напряжения на произвольной площадке

Приведем некоторые основные положения теории на­пряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или учебниках сопротивления материалов.

Если выделить из тела в окрестности некой точки (рис. 1) элементарный объем в виде бесконечно малого па­рал­лелепипеда, то действие на него окружающей среды можно заменить напряжениями, компоненты которых действуют на грани паралл елепипеда.

В силу закона парности касательных напряжений

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный тензор напряжений

\[ \tau_ =\tau_ , \quad \tau_ =\tau_ , \quad \tau_ =\tau_ . \]

На проходящей через ту же точку произвольно ори­енти­рованной площадке, нормаль которой ν имеет на­прав­ляющие косинусы l , m , n с осями x, y, z, действует нор­маль­ное напряжение σν и касательное напряжение τν (рис. 2) с рав­но­действующей S ν. Проекции этой равно­действую­щей на ко­ординатные оси S νx, S νy, S νz связаны с компонентами на­пряжений условиями равновесия (формула Коши):

\[ T_ <\sigma >=\left[ <<\begin<*<20>c> <\sigma_> & <\tau_> & <\tau_> \\ <\tau_> & <\sigma_> & <\tau_> \\ <\tau_> & <\tau_> & <\sigma_> \\ \end >> \right]. \]

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, т.н. главных площадках , действуют главные напряжения σ1, σ2 и σ3. При этом имеется в виду, что σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно — на любой площадке результирующее напряжение S ν ≤ σ1 и S ν ≥ σ3.

Направляющие косинусы l k, m k и n k нормалей главных площадок ν k определяются из решения системы уравнений:

\[ \left. <\begin S_ <\nu x>=\sigma_ l+\tau_ m+\tau_ n \\ S_ <\nu y>=\tau_ l+\sigma_ m+\tau_ n \\ S_ <\nu z>=\tau_ l+\tau_ m+\sigma_ n \\ \end> \right\> \]

ненулевое решение которой существует при равенстве нулю ее определителя.

При этом \( l^2_k + m^2_k + n^2_k = 1 \).

Из (4) следует, что главные напряжения σk(k=1,2,3) являются корнями кубического уравнения

\[ \left\< <\begin (\sigma_ -\sigma_ )l_ +\tau_ m_ +\tau_ n_ =0; \\ \tau_ l_ +(\sigma_ -\sigma_ )m_ +\tau_ n_ =0; \\ \tau_ l_ +\tau_ m_ +(\sigma_ -\sigma_ )n_ =0; \\ \end> \right. \]

Уравнение (5) в развернутой форме имеет вид

\[ det\left[ <<\begin<*<20>c> <\sigma_-\sigma > & <\tau_> & <\tau_> \\ <\tau_> & <\sigma_-\sigma > & <\tau_> \\ <\tau_> & <\tau_> & <\sigma_-\sigma > \\ \end >> \right]=0. \]

а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от выбора системы координат). Первый инвариант \( I_ <1>(T_ <\sigma >)=\sigma_+\sigma_ +\sigma_ \) равен утроенному среднему напряже­нию (гидростатическому давлению) σ.

Направление главных площадок можно определить не только девятью направляющими косинусами, а и тремя эйлеровыми углами (углом прецессии ψ, углом нутации θ и углом чистого вращения φ). С их помощью любая площадка, первоначально расположенная в плоскости, параллельной координатной плоскости (XOY, XOZ или YOZ), может быть установлена в произвольное положение.

Для характеристики напряженно-деформированного состояния (НДС) используется коэффициент Лоде-Надаи

принимающий значения μ=1 при чистом сжатии, μ=0 при чистом сдвиге, μ=-1 при чистом растяжении.

В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит как

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Гипотезы прочности

Понятие эквивалентного напряжения

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Напряженные состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении называют равноопасными или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от предельного для данного материала в одинаковое число раз, т. е. коэффициенты запаса прочности для эквивалентных напряжений одинаковы.
Иными словами, эквивалентным считается такое напряжение при простом одноосном растяжении, которое равноопасно данному сочетанию основных деформаций.
Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид: σэкв ≤ [σp] .

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

В частном случае, если σmin = 0 , то τmax = σmax/2 .

Чтобы вывести формулу для вычисления эквивалентных напряжений по третьей теории прочности, рассмотрим брус, у которого в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные τ напряжения (см. рисунок) .

Внутри бруса вблизи от произвольной точки В вырежем бесконечно малую призму abc , у которой грань ab совпадает с поперечным, грань ac – с продольным сечениями, а грань bc является главной площадкой, на которой действует главное напряжение σ .
Согласно закону парности касательных напряжений в грани ac призмы также будут действовать касательные напряжения τ .
Поскольку в продольном сечении бруса нормальных напряжений нет, то здесь мы имеем дело со случаем плоского напряженного состояния, который называют упрощенным.

Рассмотрим равновесие призмы abc , для чего спроецируем все действующие на нее силы на оси z и y . Площадь грани bc обозначим dA (элементарная площадка). Тогда:

Σ Z = 0; σ dAsinφ — τ dA cosφ — σ dA sinφ = 0
Σ Y = 0; σ dA cosφ — τ dA sinφ = 0 .

Разделив обе части равенства на dA , получим:

– σ) sinφ = τ cosφ; σ cosφ = τ sinφ .

Оба равенства разделим на cosφ и, исключив из них tgφ , получим выражение:

τ / (σ — σ) = σ / τ , что равнозначно квадратному уравнению σ 2 — σσ – τ 2 = 0 .

Решая это уравнение, получим:

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

σmax = σ/2 + 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) σmin = σ/2 — 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) .

Следовательно, исходя из формулы (1) , максимальные касательные напряжения можно найти по формуле:

Поскольку τпред = σпред/2 , а эквивалентное напряжение не должно превышать предельного, то, применяя гипотезу наибольших касательных напряжений, имеем:

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Большой вклад в разработке методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии внес немецкий ученый Кристиан Отто Мор (Christian Otto Mohr, 1835-1918 г.г.) .
Заслуги К.О.Мора в науке сопротивление материалов трудно переоценить — он является создателем одной из теорий прочности (теория прочности Мора), графических методов определения напряжений при сложном напряжённом состоянии (круг Мора).
Мор впервые применил расчёт конструкций на невыгодное загружение с помощью так называемых линий влияния, создал теорию расчёта статически неопределимых систем методом сил. Этот ученый разработал также метод расчёта неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов, предложил графический метод построения упругой линии в простых и неразрезных балках.

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

σэкв = σ(1 – k)/2 + 1/2 (1 + k) √(σ 2 + 4τ 2 ) ,

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Следует отметить, что во всех приведенных выше формулах σ и τ — нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную точку.

Источник

Как проводится анализ прочности и трещиностойкости по главным (или эквивалентным) напряжениям в железобетонных (или бетонных) конструкциях?

Пересмотрев весь форум так и не нашел ответы на интересующие вопросы, с которыми многие наверное сталкиваются постоянно, суть вопросов постараюсь изложить ниже.
Существует проблема, с которой постоянно сталкиваюсь при расчетах — проводение анализа прочности и трещиностойкости по главным напряжениям в железобетонных (бетонных) конструкциях, например применительно к scad (конечно проверить конструкции можно и по подобранной арматуре, но что если конструкции бетонные…).
На мой взгляд, возможны 2 варианта:
1. Необходимо посмотреть какие главные напряжения будут максимальными напряжениями сжатия (которые можно сравнить с прочностью бетона на сжатие), а какие будут растягивающими напряжениями (которые сравнить с нормативным значением прочности бетона на растяжение – на предмет образования трещин).
Тогда вопросы (при плоском НДС — например):
Как выявить какие главные напряжения будут сжимающие, а какие растягивающие? Как вычисляются знаки главных напряжений — положительные значения имеют растягивающие напряжения (как в сопромате) или это зависит от положения главных площадок и проекций главных напряжений на местные системы координат КЭ или выровненные функцией выравнивания выдачи усилий?
2. Проверять по эквивалентным напряжениям 1-й теории прочности.
Тогда вопрос – а применима ли она и почему? — например в scad принято:
σ экв.раст= σ1, σэкв.сж= |σ3|,
в сопромате: σ экв = |σ|max
Тогда почему максимальные (с учетом знака) главные напряжения в scad — σ1 принимаются за эквивалентное растяжение – без модуля, а меньшие (с учетом знака) — σ3 с модулем за эквивалентное сжатие?

Прошу ваших ответов или отзывов на вышеизложенные вопросы….

Источник

Читайте также:  Стабилизаторы напряжения для газовых котлов viessmann
Adblock
detector
\[ \sigma^<3>-I_ <1>(T_ <\sigma >)\sigma^<2>-I_ <2>(T_ <\sigma >)\sigma -I_ <3>(T_ <\sigma >)=0, \]