Меню

Главные оси тензора напряжений это

Главные оси тензора напряжений это

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

п с компонентами nx, ny, nz. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадке разложен па составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рx вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

Источник

Тензор напряжений

Тензор напряжений

Тензор напряжений. Затем перейдем к учету поверхностных сил, возникающих при движении вязкой жидкости. Используя закрытую поверхность 5, вырежьте объем m внутри жидкости. Рассмотрим элементы этой поверхности. Направление внешней нормали этого поверхностного элемента равно n. Если указано в px. Напряжение на поверхностных силах участка, где pv, pg и внешняя Нормаль ориентированы одинаково параллельно осям x, y и z.

Тогда действие частиц жидкости, расположенных вне элемента по отношению к частицам жидкости, прилегающим к этому элементу внутри, может быть доведено до действия поверхностной силы. Людмила Фирмаль

  • Как описано в части 1, Глава 2, раздел 3 пн-rhso $ (н, х) -> — rusoz (л, г) + р * co8 (я, Р). (3. 1 Для проекций на оси координат векторов px, pu и pr были введены следующие обозначения. Рхх > рхгрхг вектора рх* ru x’r ru urug » rg РГР * РГ г * Ргг»РЭУ> ТФ * РПУ * РПГ » РП * В этом случае pxx называется нормальным напряжением, действующим на платформу перпендикулярно оси ox, а px и pxx называются касательными напряжениями.
Читайте также:  Как зарядное устройство понижает напряжение

Затем, проецируя на координатные оси (3. 1), он выглядит так: П » х-л™потому что (Л, 10 + ЦСКО. Г) н-Р2, потому что (я, Р Р » г = pxco * (*- х) + ФВ в cos (л, г) + РГ в cos (л, г Рпг = Рхгсо* (л. Х) +р»ГС01 (Л, у) +Р«СОЗ (Я, 2 Теперь введем еще одно произвольное направление m, и проекция вектора pn в этом направлении обозначается rpt. С тех пор pmt = pnxc° * (m’x) + pnco2 $ (t. Y) + pp2c08 (w, 2), Предыдущее уравнение приводит к следующему выражению (3. 3).

Эта общая формула включает в себя 9 формул (2. 10) в качестве частного случая, если вы согласны указать p. В pn, он показывает px, например px2, а также p-by / pn-by ptr и т. д. ’Но теперь мы можем заявить, что таблица 9 (3. 4 Определите тензор, называемый тензором напряжений. Общие законы механики могут быть доказаны на основе симметрии тензора ii, представленного формулой.

В случае напряжений вязкой жидкости симметрия тензора ii получается в результате предположения, что она основана на расчете этого тензора. Для тензора и, можно повторить все, что мы говорили о Тензоре деформаций f. Существует 3 взаимно перпендикулярных шпинделя основного напряжения nm px, pp, соответствующих тензору напряжений и nm. При назначении главной оси Тензор напряжений принимает особенно простую форму.

Также, как и с равенством С14-Р2 -! «rz-e и» e » r е> (3-7 То есть сумма вертикальных напряжений 3 участков перпендикулярно друг другу не зависит от направления этих участков. Далее приступим к установлению связи между тензором скорости деформации и тензором напряжений в вязкой жидкости. Наше предположение основано на 2 предположениях. 1. Составляющая тензора напряжений при отсутствии вязкости должна быть уменьшена до соответствующей составляющей.

Из этих формул следует, что главные оси тензора напряжений совпадают с главными осями тензора скоростей деформации. Людмила Фирмаль

  • Идеальный тензора жидкости, стресс. Другими словами, является линейной однородной функцией компонент тензора скорости деформации, причем коэффициенты этих функций не зависят от выбора декартовой системы координат прямой. Линейность зависимости, которую мы рассматриваем, вполне естественно предположить, потому что этот тип зависимости является самым простым.

Независимость от выбора системы координат коэффициенты рассматриваемой линейной функции раскрывают свойство изотропности вязких жидкостей, то есть свойство однородности по отношению к различным направлениям. Полученное уравнение справедливо только для таких изотропных жидкостей. Где x y ’и r’ ориентированы вдоль главной оси тензора скорости деформации, а 61 = 62 = 03=: op, а e2-соответствующая главная скорость растяжения, Тензор скорости деформации рассматриваемой системы.

Читайте также:  Упражнения аутогенной тренировки для снятия напряжения

Координатный вид (2. 11). Легко определить общий вид величины m в этой системе координат. Например, вы можете сделать следующее: txu = v1v1toa +% (39 Где: А2. Ar-некоторые коэффициенты, не зависящие от выбора координаты axes. In в этом случае ясно, что x и xr, r должны определяться по следующей формуле (З.10). Это связано с тем, что достаточно изменить имя оси x на»ось y», изaxis y на axis r, а затем на реляционное выражение (3. 9). Наконец, преобразуйте ось z в ось x, чтобы получить первое отношение (3. 10).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Определение положения главных осей тензора напряжений

Определение главных напряжений

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

(2)

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из(1), получаем:

Кубические уравнения общего вида могут иметь комплексные корни, уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения (2) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

Пусть задано кубическое уравнения:

(3)

(4)

получим кубичное уравнение (приведенное):

(5)

Здесь и вычисляются по формулам:

(6)

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

(7)

(8)

Далее с помощью подстановки(4) в (3) находим корни исходного уравнения.

(9)

Подстановка (4) с новыми обозначениями получает вид:

. (10)

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что .

Подставляя (10) в (9) получим уравнение аналогичное (5):

(11)

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам (6):

Далее по формулам (7) находим:

По формулам (8) находим корни уравнения (5):

Учитывая (10), находим корни исходного уравнения (9), являющимися главными напряжениями:

(12)

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: — алгебраически максимальное напряжение; — алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; — алгебраически минимальное напряжение.

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Читайте также:  Способность мышцы сохранять приданную длину без изменения напряжения называется

Тензор напряжений в главных осях имеет вид:

.

Определение положения главных осей тензора напряжений

Положение главных осей тензора напряжений определяется матрицей направляющих косинусов:

(13)

Здесь первая строка матрицы представляет направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; вторая строка — направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение ; третья строка — направляющие косинусы главной оси, по которой действует напряжение . Все направляющие косинусы задаются в исходной (старой) системе координат, показанной на рис. 1

Направляющие косинусы главных осей находятся из системы уравнений:

(14)

(15)

Здесь — направляющие косинусы главной оси тензора напряжений, вдоль которой действует напряжение .

В теории упругости (1) доказывается, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных ( ) системы уравнений (13), равен нулю. Следовательно, три уравнения в (13) являются линейно зависимые: одно уравнение (любое) является следствием двух других. Поэтому для определения направляющих косинусов любой главной оси нужно одно из уравнений удалить (любое) и к двум оставшимся добавить уравнение (14). Решив полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, найдем направляющие косинусы , соответствующие главному напряжению . Положение оставшихся двух осей находят аналогично.

Нужно иметь в виду, что каждый из направляющих косинусов получается с двумя знаками. Знаки соответствуют повороту осей по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом главные оси занимают одно и то же положение, но направлены в противоположные стороны.

При определении положения главных осей нужно оставить одну систему знаков, конкретизировав при этом направления осей.

1.3.1 Вычисление направляющих косинусов

Для определения направляющих косинусов , соответствующих оси, вдоль которой действует напряжение , подставим в (14) и (15) ; при этом из (14) возьмем первые два уравнения (можно взять любые два):

(16)

Сначала найдем отношения между направляющими косинусами; для этого систему уравнений приведем к виду:

(17)

Решая подсистему, состоящую из первых двух уравнений, получим:

. (18)

Подставляя эти выражения в третье уравнение (17), найдем:

, (19)

.

На этом этапе решения задачи можно у выбрать любой знак. Примем . Подставляя это значение в (18), получим:

. (20)

Углы, которые составляет первая главная ось тензора напряжений с исходными осями координат, находятся вычислением функции от :

.

Вычисление

Подставляя в (14) и (15) и используя те же два уравнения из (14) (можно и другие), получим:

(21)

Решая эту систему уравнений в той же последовательности, как и в п. 3.2.1, получим:

.

Здесь по-прежнему знак у принят положительным, а знаки остальных направляющих косинусов определились решением подсистемы из первых двух уравнений (21).

Углы, которые составляет вторая главная ось с исходными осями координат, пока вычислять не будем. Может оказаться, что определитель матрицы направляющих косинусов будет равен -1, что соответствует левой системе координат. Для тог, чтобы получить правую систему координат, нужно будет у одной из осей поменять знаки направляющих косинусов.

1.3.2 Вычисление

Подставляя в (14) и (15) и используя те же уравнения, получим:

(22)

Решая эту систему, получим:

.

Соответствующие углы равны:

.

Источник

Adblock
detector