- iSopromat.ru
- Задача
- Пример решения
- Расчет напряжений
- ПроСопромат.ру
- Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
- Архив рубрики: Задачи на растяжение-сжатие
- Расчет статически неопределимой стержневой системы
- Задача на статически неопределимый брус с зазором
- Задача
- Задача на определение перемещений с учетом собственного веса
- Задача
- Задача
- Задача
- Задача на монтажные (начальные) напряжения
- Задача на температурные напряжения
- Задача
iSopromat.ru
Пример решения задачи на расчет нормальных напряжений в сечениях прямого ступенчатого стержня при продольном нагружении.
Задача
Рассчитать величину напряжений в стержне заданной формы, нагруженном продольными силами и построить их эпюру.
Пример решения
Предыдущие пункты решения задачи:
т.е. напряжения определяются отношением соответствующей величины внутренней силы к площади поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.
Площади поперечного сечения стержня:
В пределах участка стержня, где внутренняя сила и площадь постоянны, напряжения тоже будут одинаковы, при этом положительные (растягивающие) внутренние силы в сечениях вызывают действие положительных напряжений, и наоборот.
Величину и знаки внутренних сил примем с построенной эпюры N.
Расчет напряжений
По этим данным строим эпюру нормальных напряжений σ .
По эпюре видно, что все напряжения лежат в пределах допустимых значений, следовательно, поперечные размеры стержня были рассчитаны правильно и необходимая прочность обеспечена.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Источник
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Архив рубрики: Задачи на растяжение-сжатие
Расчет статически неопределимой стержневой системы
Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.
- Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.
В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.
Составляем уравнения равновесия
Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.
Схема деформаций
По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1 и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:
, где ВВ1=Δℓ1 (удлинение первого стержня)
Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.
Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).
Тогда уравнение совместности деформаций будет:
Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через N2
Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:
N1 = 7,12кН (растянут),
Определим напряжения в стержнях.
Задача на статически неопределимый брус с зазором
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RAи RВ. Составим уравнение статики.
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10 -3 м
Е – модуль упругости, Е=2·10 5 МПа=2·10 8 кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
Задача
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·10 5 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
- Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности
Задача на определение перемещений с учетом собственного веса
На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м 3 ). Найти перемещение сечения 1 –1.
Дано: Е =2·10 5 МПа, А = 11 см 2 , а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.
Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.
Обозначим его как . Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в
Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.
Обозначим его как Оно будет вызываться собственным весом участка а+в
Тогда полное перемещение сечения 1-1:
Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.
Задача
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению ; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см 2
Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.
(1) -уравнение равновесия
Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы: (2)
По закону Гука имеем:
Длины стержней: Тогда получим:
Подставим полученное соотношение в уравнение (1):
Определяем напряжение в стержнях:
Допускаемая нагрузка:
В предельном состоянии: Подставим полученные соотношения в уравнение (1):
При сравнении видим увеличение нагрузки:
Задача
Колонна, состоящая из стального стержня и медной трубы, сжимается силой Р. Длина колонны ℓ. Выразить усилия и напряжения, возникающие в стальном стержне и медной трубе.Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части
Составим уравнение статики: NC+ NM — P= 0 , NC+ NM = P (1)
Задача статически неопределима. Уравнение совместности деформации запишем из условия, что удлинения стального стержня и медной трубы одинаковы: (2) или Сократим обе части на длину стержня и выразим усилие в медной трубе через усилие в стальном стержне :
(3) Подставим найденное значение в уравнение (1), получим:
При совместной работе всегда сильнее напряжен элемент из материала с большим модулем упругости. При ЕС = 2·10 5 МПа, ЕМ = 1·10 5 МПа:
Задача
Для колонны определить напряжения на всех участках. После приложения силы Р зазор закрывается, Р = 200 кН, Е = 2 . 10 5 МПа, А = 25 см 2 После приложения силы Р возникнут усилия в защемлениях. Обозначим их как C и В.
Составим уравнение статики: ∑y = 0; С + В – Р = 0; (1)
Дополнительное уравнение совместности деформаций: ∆ℓ1+∆ℓ2=0,3 мм (2);
Чтобы найти абсолютную деформацию, необходимо знать продольную силу на участке. На первом участке продольная сила равна С, на втором разности (С- Р). Подставим эти значения в выражения абсолютных деформаций: (3)
Подставляем выражение (3) в выражение (2) и находим: С = 150 кН, а из (1) B = 50 кН .
Тогда напряжения на участках:
Задача на монтажные (начальные) напряжения
На трех стальных стержнях подвешена жесткая балка; стержень 2 выполнен короче проектного. Определить напряжения в стержнях после сборки системы. Дано:
После завершения сборки в данной системе жесткая балка повернется и займет новое положение.
Точки С, D и К переместятся в положения С1, D1 и К1
Согласно картине деформирования СС1=Δℓ1, DD1=Δ−D1D2 = Δ−Δℓ2, KK1= Δℓ3, при этом стержни 1 и 3 испытывают сжатие, а стержень 2 – растяжение.
В соответствии со схемой деформирования уравнение равновесия примет вид:
Дополнительные уравнения можно получить на основе анализа схемы деформирования; из подобия треугольников ВСС1 и BDD1, треугольников ВСС1 и BKK1 следует:
Согласно закона Гука абсолютные деформации:
Тогда дополнительные уравнения запишутся следующим образом: Решая совместно данную систему полученных дополнительных уравнений и уравнение равновесия , получим:
N1=14,3 кН (стержень сжат), N2=71,5 кН (стержень растянут), N3=42,9 кН (стержень сжат).
Таким образом, искомые напряжения в стержнях имеют значения: Задача решена.
Задача на температурные напряжения
Ступенчатый медный стержень нагревается от температуры tН=20ºС до tК=50ºС. Проверить прочность стержня. Дано:
Составим уравнение равновесия стержня в предположении замены внешних связей реактивными силами: Как видим ,система статически неопределима, и для ее решения требуется дополнительное уравнение.
Уравнение совместности деформаций следует из условия, что перемещения внешних связей равны 0 — WВ=0 или WК=0. Таким образом:Откуда:
В результате RB=20723Н.
Нормальные силы и напряжения на участках:
Согласно результатам расчетов σmax=│69,1│MПа, при этом σmax Запись опубликована 22.02.2015 автором admin в рубрике Статически неопределимые задачи. Р-С.
Задача
Расчет стержня с зазором. Для стального ступенчатого стержня при наличии зазора между нижним торцом и опорой требуется: построить эпюры нормальных сил и напряжений, перемещений; проверить прочность. Дано:
Схема стержня; эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений
Составим уравнение равновесия стержня:
В нем два неизвестных, система один раз статически неопределима ,требуется дополнительное уравнение — уравнение деформаций.
Дополнительное уравнение можно записать из условия закрытия зазора в процессе деформирования стержня:
Для рассматриваемых участков их абсолютные деформации:
Определим нормальные (продольные) силы методом сечений, идем от стены к зазору:
Подставим все найденные значения в дополнительное уравнение:
После подстановки исходных данных и сокращений:
Из уравнения равновесия получаем:
Таким образом, RВ=40,74 кН, RК=9,26 кН.
Расчет нормальных сил: Строим эпюру N
Расчет нормальных напряжений:Строим эпюру нормальных напряжений
Расчет перемещений характерных сечений.
Принимается правило знаков для перемещений: вниз – положительные, вверх – отрицательные.Строим эпюру перемещений.
Из эпюры нормальных напряжений видно, что:
Следовательно, условие прочности стержня не выполняется.
Источник