Определение напряжения в пластине

Напряжения в пластинке

Чтобы вычислить нормальные напряжения σ_x и σ_y воспользуемся двумя формулами закона Гука

(1.7)

и на основании третьей гипотезы отбросим напряжение σ_z. Получим:

Отсюда, учитывая зависимости (1.6) найдем

(а)

Четвертая формула закона Гука после подстановки угловой деформации γ_xy из формул (1.6) принимает вид:

(б)

В двух других плоскостях касательные напряжения, согласно равенствам (1.1), обращаются в нуль:

Однако такой результат получен только вследствие принятых ранее гипотез. В действительности эти касательные напряжения не равны нулю, поскольку это противоречит условиям равновесия. Рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия

(1.8)

Пренебрегая объемными силами, из первого уравнения найдем

Подставив сюда напряжения из формул (а) и (б) получим:

Проинтегрировав по z, найдем

(в)

Для определения произвольной функции f ₃(x,y) имеем следующие граничные условия: на верхней и нижней поверхностях пластинки нет касательных нагрузок, т. е. при z =±h/2 τ_zx=0. Подставив эти условия в формулу (в), получим

Вводя ее в формулу (в), получаем

(г)

Решив таким же путем второе уравнение равновесия (1.8), находим

(д)

Согласно формулам (а), (б), (г) и (д), в сечениях пластинки, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают следующие напряжения:

(1.9)

На рис. 1.2 показаны эпюры этих напряжений по толщине пластинки. Напряжения σ_x, σ_y и τ_xy = τ_yx распределяются по линейному закону, обращаясь в нуль в точках срединной плоскости; напряжения τ_zy и τ_zx распределяются по параболе, достигая в точках срединной плоскости максимального значения. Так же распределяются касательные напряжения и при поперечном изгибе балок прямоугольного сечения. В формулах (1.9) все напряжения выражены через одну функцию двух переменных w (x, y), следовательно, функция прогибов играет здесь ту же роль, что и функция напряжений в плоской задаче.

Усилия в пластинке.

Найдем усилия, соответствующие напряжениям (1.9) в сечениях пластинки, нормальных к ее срединной плоскости. На рис. 1.3 изображен бесконечно малый элемент пластинки.

На рисунке показаны положительные напряжения: нормальное напряжение σ_x направлено по внешней нормали к сечению, касательные – в направлении соответствующих положительных координатных осей.

Через N_x обозначим нормальную силу, приходящуюся на единицу ширины рассматриваемого сечения. Она равна проекции на ось x равнодействующей внутренних сил в сечении с нормалью, параллельной оси x. На ось x проецируется только нормальное напряжение σ_x. Соответствующая ему внутренняя сила на бесконечно малой площадке dydz равна σ_x dydz, а на единицу ширины сечения приходится сила σ_x dz. Суммируя эти элементарные силы по толщине пластинки, получим выражение нормальной силы

Подставим сюда нормальное напряжение σ_x из формул (1.9) и вынесем за знак интеграла величины, которые не зависят от координаты z:

Под знаком интеграла стоит нечетная функция, а пределы интегрирования отличаются только знаком. Поэтому интеграл равен нулю, а нормальная сила N_x = 0.

Аналогичным способом определяется изгибающий момент M_x, представляющий собой сумму элементарных моментов

После интегрирования получим

(1.10)

называется цилиндрической жесткостью.

Поперечная сила в рассматриваемом сечении

Подставив в этот интеграл выражение касательного напряжения t_zx из формул (1.9) получим

Сдвигающую силу S_x находим, суммируя проекции внутренних сил в том же сечении на ось y:

После подстановки t_yx из формул (1.9)

(а)

Таким же способом определяются усилия в сечении с нормалью, параллельной оси y (Рис. 1.3):

(б)

Сравнив формулы (а)и (б), заметим, что

Отсюда следует, что под действием поперечной нагрузки в сечениях пластинки, перпендикулярных ее срединной плоскости, возникают следующие усилия:
изгибающие моменты

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Все они выражены через прогибы срединной плоскости. Положительные направления указанных усилий показаны на рис. 1.4.

Источник

Как правильно понимать напряжения/усилия в пластинах?

Очередной раз сталкиваюсь с непониманием в вопросе о напряжениях в КЭ «пластина», особенно изгибных (Мх, Му). Прошу помощи в данном вопросе. Работаю в ЛИРА-САПР (но это не суть важно).
Предлагаю конкретный пример — в приложении скриншот мозаики напряжений (точнее усилий) Мх в верхнем листе конструкции люка. Сам люк из себя представляет каркасик из уголков 40х4, поверх которого лист 4мм.(Закрывает квадратный колодец 1х1 м) Попросили проверить данный люк на нагрузку в 3тс, сосредоточенную (от колеса трактора, условно), нагрузка приложена в центре по площади 0,2х0,2м (интенсивность эквивалентна сосредоточенной нагрузки в 3тс). Построил КЭ-модель, задал сечения, жесткости, нагрузки; с результатами — проблема. На мозаике видно что усилия Мх=0,27тс*м/м (то что делиться на метр это я понимаю. Изгибные усилия отнесены к сечению равному по ширине 1м; по высоте — соответственно высоте сечения — 4мм в моем случае) Итого получаем если посчитать Wx для сечения из листа 100х0,4, Wx=2.67см3. Если поделить Мх/Wx=1010МПа, что в свою очередь в 4 раза больше расчетного сопротивления стали С235.
Можно ли так интерпретировать результаты? если нет, то подскажите как работать с этими Мх, Му.
Как рассчитать узел (приложение 2) на действие момента Мх (какое брать сечение?)

П.С. Моделировал всё пластинами (и уголки). Жесткими вставками на половину толщину листа при соединении уголков с листом — пренебрег. Оси пластин — согласовал.

Источник

Лекция 4. Пластины, мембраны

4.1 Основные определения и допущения

Пластиной называется тело призматической или цилиндриче­ской формы, у которого один размер (толщина h ) значительно меньше других (а и b ), измеренных в плоскостях оснований (рис. 39). В технике широко используются круглые и прямо­угольные пластины; иногда встречаются пластины и других очертаний в плане. Толщина пластины может быть как постоянной, так и переменной.

Примером круглой пластины может служить днище Д цилин­дрического сосуда — бака, котла, трубы (рис. 40,а) — или поршень П, движущийся в цилиндре (рис. 40,б). Примером прямоугольной пластины, защемленной одной кромкой, может служить каждая из вертикальных стенок с сечения, составленного из листов, при значительной жесткости полки п (рис. 40,в), а при­мером пластины, упруго защемленной тремя кромками, — стенка прямоугольного резервуара (рис. 40,г).

Плоскость, находящаяся на равных расстояниях от верхнего и нижнего оснований и делящая пополам толщину h пластины постоянной толщины (рис. 39), называется срединной пло­скостью. После изгиба срединная плоскость превращается в сре­динную поверхность изогнутой пластины.

При изучении пластин принимается система координат, при которой начало координат и оси х и у лежат в недеформированной срединной плоскости пластины, а ось z направлена перпендику­лярно к срединной плоскости. В общем случае на пластину могут действовать различно направленные силы. Каждую из этих сил можно разложить на две составляющие: действующую в средин­ной плоскости и перпендикулярную к ней. Совокупность состав­ляющих усилий в срединной плоскости, называемых цепными усилиями, вызывает деформацию только в этой плоскости, а сово­купность составляющих, перпендикулярных к срединной пло­скости, изгибает пластину. В дальнейшем предполагается, что нагрузка, испытываемая пластиной, перпендикулярна к ее срединной плоскости, т. е. составляющие нагрузки в срединной плоскости равны нулю.

При определении усилий и деформаций для пластин средней толщины принимаются следующие допущения:

1. Перпендикуляр AD к срединной плоскости, опущенный из любой точки D пластины (рис. 41), остается после изгиба прямым и нормальным к изогнутой срединной поверхности (А₁ D ₁). Это допущение, называемое допущением о прямых нормалях, соот­ветствует гипотезе плоских сечений, на котором основана теория изгиба балок.

Влияние на величину перемещений некоторого искривления нормали, происходящего вследствие сдвигов, не учитывается. Оно значительно меньше, чем перемещения или , вызы­ваемые поворотом нормали вслед­ствие искривления срединной плос­кости при изгибе.

2. Нормальными напряжениями , действующими по площадкам, парал­лельным срединной плоскости, можно пренебречь по сравнению с другими напряжениями и принять

(4.1)

Это допущение называется допу­щением об отсутствии поперечного давления.

Для относительных деформаций можно использовать формулы

. (4.2)

При изучении поперечного изгиба пластины средней толщины считаем: 1) срединную плоскость свободной от цепных усилий, 2) линейные и угловые деформации в срединной поверхности изогну­той пластины — отсутствующими. Перечисленные допущения приме­нимы только при малом прогибе пластины.

Пластину можно условно отнести к тому или иному виду в зависимости от отношения толщины h к наименьшему размеру а пластины в плане (рис. 39). Существует три вида пластин, принципиально отличающихся друг от друга характером распре­деления напряжений и способом расчета:

1. Плиты — толстые пластины, имеющие отношение

У этих пластин (рис. 42) высота настолько велика по сравне­нию с пролетом и они настолько жестки, что касательные напряже­ния , возникающие по сечениям С — С от перерезывания под дей­ствием нагрузки, имеют тот же поря­док, что и нормальные напряжения , вызванные изгибом. Плоскость, сво­бодная от цепных усилий и от деформаций, смещается по отноше­нию к срединной плоскости, а нор­мальные напряжения распределяются по высоте сечения уже не по прямолинейному, а по криволинейному закону.

Допущения, перечисленные выше, при расчете плит непри­менимы.

2. Пластины средней толщины, имеющие отношение

Под действием сил, перпендикулярных к срединной плоскости, пла­стина изгибается, но вследствие достаточной жесткости прогиб w (рис. 43) не превосходит толщины h и опертая пластина способна нести вертикальную нагрузку. Эпюра нормальных на­пряжений в сечениях, перпендикулярных к срединной плоскости, прямолинейна. Характерная особенность изгиба пластин нагрузкой, нормальной к срединной плоскости, заключается в том, что он нередко сопровождается кручением.

3. Мембраны — пластины, имеющие отношение

Мембраны тонки и гибки, поэтому, чтобы они могли нести нагрузку, нормальную к срединной поверхности, их часто за­крепляют на контуре (рис. 44).

При этом нагрузка поддерживается мембраной в основном не за счет ее изгиба, а за счет растяжения по всей толщине. Таким образом, можно считать, что нормальные напряжения распределяются равномерно по толщине мембраны и срединная поверхность не свободна от напряжений. Прогибы w мембраны велики и могут в несколько раз превышать ее толщину h .

Мембраны широко применяются в различных акустических ап­паратах и гидравлических устройствах.

В зависимости от характера кон­струкции любая кромка пластины (рис. 45)

может быть защемлена (кромка 1 ), свободно оперта (кром­ка 2 ) или свободна от закреплений (кромки 3 и 4). Возможно также упругое закрепление кромки пла­стины, промежуточное между сво­бодной кромкой и защемлением, ко­торое дает возможность срединной поверхности под действием нагрузки в той или иной степени поворачиваться на упруго защемленной кромке. Примыкание кромки пластины 1 к любому упругому элементу 2 (рис. 46) представляет собой упругое ее закрепление; возможный угол поворота на кромке обратно пропорционален жесткости эле­мента 2, к которому она прикреплена.

Указанный выше признак деления пластин на плиты, пластины средней толщины и мембраны следует считать условным. Главное различие между этими клас­сами заключается в соотношении между величиной цепных и изгибных усилий, которое может быть установлено только расчетом. Одна и та же пластина в зависимости от величины отношения про­дольных сил к изгибающим моментам и от способа закрепления на контуре может быть отнесена к тому или иному классу.

Цепные продольные усилия, вызывающие равномерно распре­деленные по толщине напряжения, могут появиться при попереч­ном нагружении пластины, закрепленной на контуре, вследствие препятствий, которые оказывают опоры сближению кромок пла­стины.

Наличие продольных усилий сказывается на элементах из­гиба: прогибы, изгибающие моменты и поперечные силы тем боль­ше, чем меньше отношение . Растягивающие продольные силы уменьшают, а сжимающие увеличивают элементы изгиба от задан­ной поперечной нагрузки. Это влияние для защемленной на кон­туре пластины меньше, чем для опертой.

4.2 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины в прямоугольных координатах

В общем случае изгиба пластины произвольного очертания нагрузкой q (х, у), распределенной на ее поверхности по произвольному закону (рис. 47),

по граням прямоугольного элемента, имеющего размеры dx и dy в плане, выделенного из пластины двумя парами сече­ний, действуют погонные изги­бающие моменты М_х и M _у, по­гонные поперечные силы Q_x и Q_y и погонные крутящие моменты Н _x и Н _y (рис. 48).

Возникновение крутящих моментов можно объяснить так. Если рассечь опертую по контуру пластину на ряд полос 1 , 2, 3, . (рис. 49,а), каждая из которых представляет собой балку, опертую по концам, то сила Р, приложенная к точ­ке А пластины, вызовет прогиб только той балки 2 , к ко­торой относится точка А. В пластине, не рассеченной на полосы, полоса 2 поддерживается соседними полосами 1 и 3, которые в свою очередь испытывают со стороны полосы 2 направленные вниз усилия Р’ (рис. 49,б). Со стороны примыкающих к полосам 1 и 3 частей а пластины эти полосы испытывают поддерживающее усилие Р». Усилия Р’ и Р», действующие на каждую из полос 1 и 3, можно привести к равнодействующей R , приложенной в центре тяжести сечения полосы, и к паре Н, скручивающей полосу (рис. 49,б).

Задачу решаем в перемеще­ниях. Из первого допущения теории пластин о возможно­сти пренебречь относительными сдвигами и ,

(4.3)

На основании второго допу­щения w не зависит от z . Инте­грируя равенства (4.3) по z , на­ходим

или, так как при z = 0 у нас u = v = 0,

(4.4)

С учетом зависимостей (4.4) относительные деформации выразятся через перемещение w следующим образом:

. (4.5)

Так как на основании второго допущения напряжением можно пренебречь, из формул (1.20) закона Гука, полагая = 0 и учитывая выражения (4.5), получаем

(4.6)

, (4.7)

. (4.8)

Пользуясь дифференциальными уравнениями равновесия (1.2), можно найти также напряжения . Хотя мы услови­лись считать их малыми, но производные этих напряжений, вхо­дящие в уравнения (1.2), не малы, так как по толщине пластины напряжения изменяются резко. Из первых двух уравнений (1.2), пренебрегая проекциями объемных сил и интегрируя по z , получаем

.

Функции f ₁ и f ₂ находим из граничных условий, составленных для нижней и верхней граней пластины: при

.

Из третьего уравнения (1.2) следует

. (4.9)

Нагрузка интенсивностью q ( x , у) приложена к верхней грани пластины и направлена вниз, т. е. напряжение — сжимающее. Поэтому для определения функции f ₃ ( x , у) можем написать гра­ничные условия:

(4.10)

Из первого условия найдем функцию f ₃ ( x , y ) и, подставив ее в (4.9), получим

.

Подставив это выражение во второе условие (4.10), получим диф­ференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пла­стины

, (4.11)

(4.12)

— цилиндрическая жесткость пластины, аналогичная жесткости EJ балки, характеризующая способность пластины деформиро­ваться. Размерность цилиндрической жесткости представляет со­бой произведение единицы силы на единицу длины. По величине D > EJ .

Уравнение (4.11) может быть сокращенно записано через опера­тор Лапласа:

Первый член, стоящий в скобках уравнения (4.11), учиты­вает прогиб, зависящий от изгиба в плоскости х z , третий член — в плоскости yz , а второй — прогиб, зависящий от кручения.

Решение уравнения (4.11) дает уравнение изогнутой средин­ной поверхности пластины

Если оно найдено, погонные изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы, приходящиеся на единицу длины кромки пластины, определяют исходя из условий равновесия полосы пластины шириной, равной единице (рис. 50).

Составим условие равновесия моментов относительно оси у и подставим в него значение из формулы (4.6):

.

Отсюда, с учетом формулы (4.12), для погонного изгибающего момента получим

. (4.13)

Аналогично из условия найдем погонный изгибающий момент

. (4.14)

При действии одних только по­гонных изгибающих моментов М_х и M _у (рис. 51) пластина испытывает чистый изгиб в двух взаимно перпендикулярных

направлениях. Срединная плоскость ее превращается в изогнутую поверхность с главными радиусами кривизны (в сечении плоскостью, параллельной плоскости х0z) и (в сечении плоскостью, параллельной плоскости у0z). Соответствующие глав­ные кривизны срединной поверхности

. (4.15)

Составим, учитывая (4.8), условия равенства крутящих моментов сумме моментов усилий, возникающих от напряжений , и найдем погонные крутящие моменты:

. (4.16)

При действии одних только погонных крутящих моментов пластина испытывает чистое кручение.

Составим, учитывая (4.8), условия равенства проекций попереч­ных сил сумме проекций усилий, возникающих от напряжений (рис. 52).

Найдем погонные поперечные силы:

. (4.17)

4.3 Цилиндрический и сферический изгиб пластины

Цилиндрическим изгибом называется изгиб пластины по ци­линдрической поверхности (рис. 53). Чтобы получить такой изгиб, закрепление двух параллельных кромок пластины должно обеспечивать неподвижность пластины, а две другие кромки должны быть свобод­ны. Нагрузка должна иметь постоянную интенсивность в направлении, параллель­ном закрепленным кромкам (на рис. 53 парал­лельно оси у), а в перпенди­кулярном направлении может быть произвольной.

На рис. 53 представлен цилиндрический поперечный изгиб под действием распре­деленной нагрузки. Интенсив­ность нагрузки и реакция вдоль линии, параллельной закреплен­ной кромке (оси у), постоянны, а кромки, параллельные оси х, сво­бодны. На рис. 54 показан цилиндрический чистый изгиб, который происходит под действием моментов М₁ и постоянной интен­сивности, распределенных по кромкам, параллельным оси у.

Для определения усилий, возникающих при чистом цилинд­рическом изгибе, рассматривается пластина, нагруженная по кромкам моментами М₁ и (рис. 54). Размерность изгибающего момента М₁ приходящегося на единицу длины кром­ки, т. е. погонного изгибающего момента,

Пластину нужно представить себе рассеченной на ряд полос шириной, равной единице, сечениями, параллельными оси х (рис. 55). Каждую из полос можно рассматривать как балку, опертую своими концами и нагруженную по концам моментами М. Отличие таких балок от полос пластины заключается в том, что у первых поперечные деформации их сечений ничем не стеснены, тогда как поперечной деформации полосы пластины (рис. 56) пре­пятствуют соседние полосы, которые тоже стремятся деформиро­ваться в поперечном направлении. Для полос, вырезанных на некотором расстоянии от кромок а,

можно считать, что относитель­ная линейная деформация e _у равна нулю, т. е. состояние пла­стины — плоское деформированное. При пользовании формулами подразд. 1.10 следует в соответствии с системой координат, принятой для пластин, заменить в них коорди­нату z на у, а координату у — на z .

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности и выражения для изгибающих мо­ментов могут быть получены из со­ответствующих выражений подразд. 4.2, если учесть, что при цилиндриче­ском изгибе прогиб w не зависит от координат у и z . Тогда уравне­ние (4.11) примет вид

. (4.18)

Проинтегрировав выражение (4.18) дважды, получим

. (4.19)

Уравнение (4.13) для погонного изгибающего момента при­мет вид

. (4.20)

Нормальное напряжение, параллельное оси х,

, (4.21)

где – момент инерции полосы прямоугольного сечения шириной, равной единице.

Так как на некотором расстоянии от свободных кромок пла­стина испытывает плоскую деформацию,

.

. (4.22)

Выражение (4.21) для ничем не отличается от выраже­ния для нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки при ее чистом изгибе. Отличие цилиндрического изгиба пластины от изгиба балки заключается в том, что в пла­стине, кроме напряжения , возникает еще напряжение . Прогибы w пластины при цилиндрическом изгибе вычисляются путем двукратного по­следовательного интегрирования диф­ференциального уравнения (4.19). Они оказываются меньше, чем для балки-полосы, так как цилиндриче­ская жесткость D , стоящая в зна­менателе правой части уравнения (4.19), больше, чем жесткость балки EJ .

Если пластина подвергается действию равномерно распреде­ленных моментов по окружности (рис. 57), она изгибается по сферической поверхности.

Главные радиусы кривизны в любом сечении одинаковы:

,

. (4.23)

Заменив вторые производные в уравнениях (4.13) и (4.14) кривизной, на основании формулы (4.23) получим изгибающий мо­мент при сферическом изгибе

.

Дифференциальное уравнение (4.11) и выражения для кру­тящего и изгибающих моментов и для поперечных сил получены в предположении, что в срединной поверхности отсутствуют цепные погонные усилия: продольные N _х и N _у и сдвигающие Т_ху и Т_ух. Дифференциальные уравнения изгиба пластины конечной жесткости при наличии цепных усилий и выражения для усилий М, N , Q , Н и Т получены Карманом:

. (4.24)

Эта система может быть сведена к системе двух совокупных дифференциальных уравнений с помощью введения некоторой непрерывной функции , называемой функцией напряжений. Если выразить продольные и сдвигающие силы N и Т через функ­цию напряжений

, (4.25)

то можно убедиться, что первые два уравнения системы (4.24) будут тождественно удовлетворены при любом виде функции .

Подставив выражения (4.25) для цепных усилий N и Т во второе и третье уравнения системы (4.24) и заменив изгибающие и кру­тящие моменты М и Н их выражениями (4.13), (4.14), (4.16) полу­чим следующую систему дифференциальных уравнений Кармана в частных производных:

. (4.26)

Уравнения (4.26) применяют для расчета гибких пластин большого прогиба w > h /2. Если цепные усилия оказывают малое влияние на изгиб, то в системе (4.26) следует пренебречь членами, зависящими от . Первое уравнение системы (4.26) отпадает, а второе принимает вид

.

Этим уравнением мы и пользуемся для расчета плит и пластин средней толщины.

При расчете мембран, обладающих малой жесткостью на изгиб, в системе уравнений (4.26) следует пренебречь членами, пропорциональными цилиндрической жест­кости. Тогда первое уравнение этой системы остается в силе, а второе уравнение примет вид

.

В частном случае, когда сдвигающая сила Т равна нулю, про­дольные силы N _х = N _у = N и для определения w можно со­ставить следующее дифференци­альное уравнение:

.

Решение дифференциального уравнения (4.11) в конечной форме получено для эллиптиче­ской и круглой пластин, защем­ленных на контуре и нагружен­ных равномерно распределенной нагрузкой. В остальных случаях пользуются приближенными реше­ниями.

Интеграл дифференциального уравнения (4.11), представ­ляющего собой уравнение четвертой степени в частных производ­ных от двух независимых переменных, должен удовлетворять восьми граничным условиям на контуре. На каждой кромке можно составить по два условия, исходя из равенства нулю соответству­ющих двух величин из числа следующих: прогиба w, угла , из­гибающих моментов М_х или M _у, обобщенных поперечных сил или .

Обобщенные поперечные силы представляют собой попереч­ные силы на свободных кромках пластины, заменяющие одновре­менное действие погонных крутящих моментов и попереч­ных сил

.

Таким образом, общее число условий составляет 2 х 4 = 8. Например, для пластины (рис. 58) следует составить следующие восемь условий:

2) при 0 х а у = 0, = 0;

5) при 0 х а у = b, = 0 ;

7) при 0 у b у = a, = 0;

Обычно геометрические граничные условия, относящиеся к про­гибам w и углам поворота сечений , выполняются точно, а стати­ческие граничные условия, относящиеся к изгибающим момен­там М и обобщенным поперечным силам Q 0 , — лишь в интеграль­ной форме. После того как будут найдены погонные изгибающие моменты, поперечные силы и крутящий момент, напряжения можно определить по формулам сопротивления материалов

. (4.27)

Наибольшие нормальные напряжения от изгиба и и ка­сательные напряжения от кручения возникают в точках верх­ней и нижней граней пластины. Наибольшие касательные напряже­ния и от перерезывания возникают в срединной плоскости.

4.4 Изгибающие моменты при осесимметричном изгибе круглой пластины

Если круглая пластина (рис. 59,а) подвергается действию нагрузки, симметричной относительно вертикальной оси z, про­ходящей через центр О пластины и называемой центральной осью, то изогнутая срединная поверхность ее представляет собой поверх­ность вращения, симметричную относительно оси z . Поэтому се­чение пластины любой радиальной вертикальной плоскостью хОz, изображенное на рис. 59,б, окажется также симметричным от­носительно оси z. На рис.59 через х обозначена любая ось, ле­жащая в срединной плоскости и совпадающая с радиусом пла­стины; все точки А, лежащие на окружности радиусом х, испыты­вают одинаковое усилие, их вертикальные прогибы w (перемеще­ния, параллельные оси z) тоже одинаковы.

Если координата х получила приращение dx , то прогиб w получит соответствующее приращение dw . Отношение

(4.28)

представляет собой приближенно, ввиду малости w , угол наклона, который составляет касательная ТТ, проведенная в точке А, к изогнутой срединой поверхности пластины. При заданном направлении оси z тангенс угла и, следовательно, и угол — отрицательны. Как известно, криволинейная поверхность имеет в любой точке А два главных радиуса кривизны и , из которых один наибольший, а другой наименьший. Радиусы кривизны в данной точке со­впадают с главной нормалью, т. е. с нормалью, лежащей в плоскости кривизны и пер­пендикулярной к касатель­ной плоскости, проведенной в точке А к криволинейной поверхности.

Для круглой симметрично нагруженной пластины (рис. 60) главный радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в плоскости хОz. Центр C ₁ кри­визны может находиться выше или ниже плоскости Ох в зави­симости от изгиба пластины: выпуклостью вниз или вверх.

Радиус кривизны характеризует собой кривизну изогнутой срединной поверхности в направлении, перпендикулярном к пло­скости чертежа, и представляет собой образующую конуса, вер­шина которого C ₂ лежит на оси z , а радиус основания равен х. На основании приближенного выражения аналитической гео­метрии и зависимости (4.28) главная кривизна

. (4.29)

Из прямоугольного треугольника АВС₂ видно, что

,

откуда вторая главная кривизна

. (4.30)

Подстановка значений (4.29) и (4.30) в формулы (4.13), (4.14) с учетом (4.15) дает выражения для погонных из­гибающих моментов радиального М _r и окружного М _T :

. (4.31)

Для дальнейших выводов понадобится еще выражение произ­водной погонного радиального изгибающего момента

. (4.32)

4.5 Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности круглой пластины

Это уравнение может быть получено из уравнения (4.11) путем преобразования его на основании формул перехода от прямо­угольных координат к полярным. Применительно к осесимметричной задаче той же цели можно достигнуть при непосредственном рассмотрении элемента круглой пластины. Для этого выделим из круглой пластины толщиной h , испытывающей распределенную нагрузку, симметричную относительно центральной оси z , двумя радиальными сечениями, составляющими между собой угол , и двумя окружными сечениями с радиусами х и х + dx элемент, заштрихованный на рис. 61 и показанный отдельно на рис. 62. Этот элемент подвергается действию не показанной на рис. 62 распределенной нагрузки, погонных поперечных сил Q и Q + d Q и погон­ных изгибающих радиальных момен­тов M_r и М _r + dM_r по окружным сечениям, а также погонных окруж­ных изгибающих моментов М _T по ра­диальным сечениям.

В силу симметрии нагрузки отно­сительно центральной оси z попереч­ные силы по радиальным сечениям отсутствуют, а погонные изгибающие моменты М _T одинаковы. На рис. 62 показаны изгибающие моменты, гну­щие пластину выпуклостью вниз. Значения моментов приняты положительными.

Для составления уравнения рав­новесия элемента изгибающие момен­ты, действующие по граням элемента, изображаются в виде векторов (рис. 63). Стрелка вектора, перпендикулярного к плоскости действия мо­мента, направлена в ту сторону, с ко­торой вращение момента представля­ется происходящим по часовой стрел­ке. Приравняем нулю сумму проекций всех сил, действующих на вырезанный элемент, на ось Т, перпендикулярную к биссек­трисе, делящей угол d q пополам.

При составлении уравнения моментов можно пренебречь ввиду малости элемента неравномерностью расположенной на нем на­грузки и моментом, вызванным приращением d Q поперечной силы в радиальном направлении. Поэтому поперечные силы, действую­щие по граням элемента, сводятся к моменту с плечом dx , который изображается вектором , параллельным оси Т. Умноже­ние всех погонных усилий на длину грани, по которой они дей­ствуют, проектирование этих усилий на ось Т и приравнивание суммы проекции нулю дает выражение

. (4.33)

В уравнении (4.33) синус угла ввиду малости заменен углом . После сокращения на , раскрытия скобок и отбрасывания члена dM_r dx высшего порядка малости уравнение (4.33) принимает вид

или, после деления всех членов на х dx,

. (4.34)

Подстановка в уравнение (4.34) выражений для М_к, М_Т и через по формулам (4.31) и (4.32) приводит к уравнению

. (4.35)

Уравнение (4.35) представляет собой дифференциальное уравнение равновесия изогнутой срединной поверхности круглой пластины, выраженное через угол , составляемый касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х.

Если в этом уравнении на основании (4.28) заменить на , можно получить другой вид дифференциального уравнения относительно вертикального перемещения w

.

Погонная поперечная сила в круговом сечении радиусом х на основании рис. 64 при распределенной нагрузке

.

Интегрируя дифференциальное уравнение (4.35), можно найти уравнение углов , а затем, на основании зависимости (4.28), и уравнение прогибов w в виде функции от х. Произ­вольные постоянные, входящие в эти уравнения, находятся из граничных условий на контуре пластины или на границе двух соседних участков. При подста­новке найденных выражений для или w в уравнения (4.31) находят выражения для радиального и окружного изгибающих момен­тов в виде функции от х. По этим выражениям могут быть построены эпюры изгибающих мо­ментов и найдены их наибольшие значения.

Пусть на круглую пластину (рис. 65) действуют направленные вниз равномерно распределенная нагрузка q и центральная сила Р. По наружному контуру радиусом r приложены произвольно на­правленные распределенные погонные силы Р₀ и погонные из­гибающие моменты М₀ .

Составим уравнения углов и прогибов w. Для возможности интегрирования левую часть уравнения (4.35) необходимо преобразовать следую­щим образом:

. (4.36)

Приравняв суммарную поперечную силу по контуру радиу­сом х, равную Q 2 p x (рис. 66), всей нагрузке, помещающейся на круге радиусом и равной Р + q × p х 2 , найдем погонную попереч­ную силу

. (4.37)

Замена выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения (4.35) соответствующими выражениями (4.36) и (4.37), приводит к легко интегрируемому дифференциальному урав­нению

. (4.38)

Первое интегрирование выражения (4.38) дает

. (4.39)

Второе интегрирование выражения (4.39) дает

. (4.40)

Уравнение (4.40) называется уравнением углов, составляе­мых касательной к изогнутой срединной поверхности с осью х или уравнением углов поворота нормали к изогнутой срединной поверхности. После подстановки в уравнение (4.40) вместо j величины на основании формулы (4.28) и умножения обеих ча­стей уравнения на dx, оно получает вид

.

. (4.41)

Уравнение (4.41) называется уравнением прогибов или урав­нением изогнутой срединной поверхности пластины.

4.6 Граничные условия. Наибольшие напряжения и прогибы.

Так как число произвольных постоянных в уравнении (4.41) равно трем, то для нахождения постоянных С следует составить следующие три граничные условия:

— для защемленной кромки пла­стины (рис. 67,а)

1) х = r, w = 0; 2) x = r, = 0; 3) x = 0, = 0;

— для свободно опертой кромки пластины (рис. 67, б)

1) х = r, w = 0; 2) x = r, M_r = 0; 3) x = 0, = 0;

— для свободной кромки (рис. 67,в)

1) х = r, M_r = 0; 2) x = r, ; 3) x = 0, w = 0.

Дифференциальное уравнение (4.38) и его интегралы, а также выражения (4.31) справедливы и для кольцевой пластины в виде круг­лой пластины с круглым отверстием в середине (рис. 68,а) или в виде кольцевой пластины,

внутренний контур которой защемлен (рис. 68,б). Изменяются лишь граничные условия и для центральной силы Р должно быть составлено вы­ражение, отражающее изменение поперечной силы в сечении х [см. формулу (4.37)].

Например, для пластины, изображенной на рис. 68, а, граничное условие х = 0, w = 0 теряет смысл, так как при х = 0 нет пластины. Поэтому следует воспользоваться следующими тремя условиями: 1) х = b ; w = 0; 2) х = b , = 0; 3) x = a , M_r = 0. Для сосредоточенной силы получится выраже­ние

.

В этом выражении первый член представляет собой приложен­ную в центре и направленную вниз равнодействующую погонных сил P_a , приложенных к контуру ра­диусом а (сила Р на рис. 65), а второй член — силу, приложенную в центре и направленную вверх, ком­пенсирующую ту распределенную на­грузку, которой надо заполнить круг радиусом а, чтобы привести схему, изображенную на рис, к схе­ме, показанной на рис. 68,а. При такой замене уравнения остаются в силе и при наличии отверстия, так как коорди­наты х всегда больше а и изменение расчетной схемы при х 1) х = а, w = 0; 2) х = а, = 0; 3) х = b , M_r = 0. Для сосредото­ченной силы получится выражение

.

Если, в частном случае, одна из нагрузок q или Р отсутствует, то в формулах (4.40) и (4.41) ее следует положить равной нулю. Например, для пластины, показанной на рис. 68,в, вы­ражение для прогиба будет

.

Если для отдельных участков пластины выражения попереч­ной силы различны (рис. 69), то для каждого из участков должно быть составлено свое дифференциальное уравнение. Например, для суммарной поперечной силы на первом участке пластины

,

.

После интегрирования каждого дифференциального уравнения получится три произвольных постоянных и общее число произ­вольных постоянных окажется равным 3п (п — число участков). Для каждой границы между двумя соседними участками могут быть составлены три дополнительных условия, выражающих то обстоятельство, что на границе двух соседних участков прогиб w , угол j и радиальный момент М _r одинаковы: 1) х = a , w ₁ = w ₂, 2) х = a , ; 3) х = а, (М _r )₁= (М _r )₂. Таких дополнитель­ных условий оказывается как раз столько, сколько недостает для нахождения всех произвольных постоянных. В разобранном при­мере при двух участках число произвольных постоянных 2 ´ 3 = 6, число условий 3 + 3 = 6.

Если известны выражения для изгибающих моментов М _r и М _T и прогибов w в функции от х, то координаты х, соответствующие наибольшим значениям этих вели­чин, найдутся из условий

. (4.42)

В ряде случаев сечения, в ко­торых возникают наибольшие из­гибающие моменты или прогибы, известны. Например, в схеме на рис. 68,б наибольший прогиб возникает на наружном контуре при х = b , а наибольший радиальный изгибающий момент ( M_r ) _max — в защемлении при х = а.

Подставив найденные из условий (4.42) значения х в выражения для изгибающих моментов, можно получить значения ( M_r ) _max и (М_Т) _max которые, в общем случае, могут возникнуть в разных сечениях пластины. Опасное сечение может оказаться поэтому там, где погонные изгибающие моменты М _r и M_T одно­временно велики.

Читайте также:  Стабилизатор напряжения теплоком ст 400 неисправности

Главные напряжения на наружной и внутренней поверхностях пластины в опасном сечении вычисляются по формулам, анало­гичным (4.27), путем замены момента инерции на момент сопротивления:

.

Третье главное напряжение (по площадке, параллельной сре­динной плоскости) равно нулю. Расчетное напряжение, сравнивае­мое с допускаемым, вычисляется в зависимости от знаков напря­жений и по одной из теорий прочности. Например, для пластины, представленной на рис. 68,б, опасное сечение находится в защемлении при х = а; при этом верхние волокна и от момента М _r , и от момента М _T испытывают растяже­ние, а нижние — сжатие, изгибающий момент М _r в сечении х = а больше, чем М _T . Предполагаем, что пластина выполнена из пла­стического материала и что применяется третья теория прочности, условие прочности по которой

.

Волокна в точке на верхней поверхности пластины растянуты, т. е. напряжения положительны, поэтому следует обозначить:

.

Условие прочности примет вид

.

4.7 Температурные напряжения в пластинах

В общем случае температура в какой-либо точке круглой пла­стины является функцией двух переменных: радиуса х и расстоя­ния z от точки до срединной плоскости. В силу линейности основ­ных уравнений для температурных напряжений напряжения, выз­ванные радиальным изменением температуры — t_{x 2} – t_{x 1} и изме­нением температуры по толщине t ₂ – t ₁ можно вычислить от­дельно, а затем алгебраически суммировать. Ниже рассматри­ваются два случая изменения температуры: 1) температура одинакова для всех точек, рас­положенных на одинаковом рас­стоянии z от срединной плоско­сти, но меняется по толщине пластины по прямолинейному закону; 2) температура постоян­на по толщине, не зависит от полярного угла , но меняется в зависимости от расстояния х между точкой и центром пла­стины.

Случай 1. При одинаковом во всех точках одной окружности изменении температуры по толщине пластины , подчиняющемся прямолинейному закону (рис. 70), перемещение этих точек пластины, связанное с ее расширением или сжатием, происходит также одинаково по всем направлениям в плане.

В случае повышения температуры верхняя поверхность пла­стины получает большее расширение, чем нижняя, и пластина из­гибается по шаровой поверхности радиусом r выпуклостью вверх. На основании допущения о прямых нормалях можно считать, что относительная деформация (по отношению к срединному слою), происходящая на наружной поверхности в любом направлении,

. (4.43)

С другой стороны, относительная температурная деформация отрезка длиной l на наружной поверхности по отношению к сре­динному слою

. (4.44)

Приравняв выражения (4.43) и (4.44), можно получить формулу для определения кривизны шаровой изогнутой поверхности

. (4.45)

Если круглая пластина не имеет закреплений или свободно поворачивается на контуре (свободно оперта), то температурное искривление не вызывает дополнительных усилий. Если же пла­стина защемлена, на контуре возникнут погонные опорные мо­менты М _r , уничтожающие кривизну, вызванную неравномерным нагревом.

При сферическом изгибе моментами М _r кривизна

. (4.46)

Приравняв выражения (4.45) и (4.46), получим формулу для опреде­ления погонного изгибающего момента

,

а разделив это выражение на момент сопротивления и подставив вместо цилиндрической жесткости D ее значение из формулы (4.12), определим наибольшее напряжение:

. (4.47)

Случай 2. Круглая пластина с центральным отверстием ра­диусом а подвергается действию температуры, имеющей радиаль­ный перепад (рис. 71).

В дальнейшем t _{( x )} обозначено для кратко­сти t . Напряженное состояние в пластине считаем плоским, т. е. полагаем = 0. В силу симметрии условий и расчетной схемы перемещения и зависят только от радиуса х, а перемещения v равны нулю. Поэтому относительные деформации

. (4.48)

Если решить первые два уравнения (4.48) относительно и , а в третьем заменить на , можно получить

. (4.49)

Подстановка значений (4.49) в уравнение равновесия плоской задачи в полярных координатах, принимающее в данном случае ( ) вид

,

приводит к следующему диф­ференциальному уравнению для радиального перемещения:

.

Для интегрирования этого уравнения левая его часть записы­вается так [см. аналогичное решение уравнения (4.36)]:

. (4.50)

Первое и второе интегрирование (4.50) дает

. (4.51)

В выражении (4.51) через х₁ обозначен переменный радиус, определяющий точки, расположенные между а и х. Если подставить это выражение в формулы (4.49), то получатся следующие выражения для температурных напряжений:

. (4.52)

Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий на контурах пластины. Если отверстия радиусом а в пла­стине нет, то интегрирование в формулах (4.52) выполняется в пределах от нуля до х.

4.8 Определение усилий в мембранах. Цепные усилия и напряжения

Мембрана обладает малой жесткостью на изгиб и поэтому обычно рассчитывается лишь на действие цеп­ных продольных усилий N _х и N _у в срединной плоскости и на вызы­ваемые ими равномерно рас­пределенные по толщине на­пряжения. Прогибы w мем­браны составляют обычно не менее пяти толщин h и в боль­шую сторону не ограничива­ются.

Реактивные усилия S на закрепленном контуре (рис. 72) направлены по касатель­ной к изогнутой срединной поверхности мембраны. Они могут быть разложены на со­ставляющие: вертикальную S_z и горизонтальную S_x . Нали­чие горизонтальной соста­вляющей реактивного усилия (распора), возникающей при действии вертикальной на­грузки, — особенность мем­браны по сравнению с пла­стиной средней толщины и плитой.

Дифференциальные уравнения изогнутой поверхности мем­браны получаются из дифференциальных уравнений (4.26) для пластины, у которой прогиб превышает половину толщины, если положить в них цилиндрическую жесткость D равной нулю. Так как в выражении цилиндрической жесткости модуль упруго­сти Е нулю не равен, она будет равна нулю, если дробь можно считать пренебрежимо малой.

Функцию прогибов w и функцию напряжений в мембране можно найти из системы двух уравнений

. (4.53)

Уравнения (4.53) решаются приближенно. Если функция найдена, выражения для растягивающих цепных усилий N_x и N_y в мембране могут быть вычислены по формулам

, (4.54)

а соответствующие цепные напряжения найдены из выражений

.

Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие силы и соответствующие им напряжения в мембране отсутствуют.

4.9 Приближенное определение прогиба и напряжений в круглой мембране

При выводе приближенных формул предполагается, что защем­ленная на контуре мембрана радиусом а и толщиной h (рис.72) изгибается, образуя шаровую поверхность, и что нагрузка q действует по нормали к этой изогнутой поверхности. При этих условиях усилия N и напряжение (рис. 73,а)

по кромкам элемента, вырезанного из мембраны двумя взаимно перпендику­лярными сечениями, окажутся одинаковыми. При размерах эле­мента, равных единице,

. (4.55)

Согласно уравнению равновесия сумма проекций нагрузки и усилий, действующих по кромкам элемента на нормаль z к по­верхности элемента

(4.56)

Центральный угол выражаем через длину дуги кромки эле­мента и радиус кривизны . Замена в уравнении (4.56), ввиду малости ,

— для усилия ;

— для кривизны . (4.57)

Тогда для напряжения из формулы (4.55) получим

. (4.58)

Приближенное дифференциаль­ное уравнение изогнутой средин­ной поверхности на основании за­висимости (4.57)

.

Величина прогиба в середине мембраны получается на основа­нии закона сохранения энергии

где U – потенциальная энергия деформации мембраны;

A – работа внешних сил на перемещениях, вызван­ных деформацией мем­браны.

Потенциальная энергия мембраны

, (4.60)

где удельная потенциальная энергия деформации с учетом того, что на основании закона Гука

,

может быть выражена через напряжение следующим образом:

.

Тогда, на основании формулы, (4.58)

. (4.61)

Зависимость между радиусом кривизны и прогибом w ₀ в сере­дине мембраны (рис. 73,б)

или после возведения скобки в квадрат и отбрасывания как величины высшего порядка малости

(4.62)

Подстановка этого значения в формулу (4.61) и значения и в фор­мулу (4.60) дает выражение для потенциальной энергии

. (4.63)

Работа А внешних сил получится как интеграл, взятый по площади мембраны, половины произведения элементарной силы qdxdy на прогиб w (ху):

(4.64)

Интеграл в выражении (4.64) представляет собой объем V _ш.с. шарового сегмента с высотой w ₀ и радиусом а:

или, если отбросить ,

.

Поэтому выражение (4.64) примет вид

. (4.65)

При подстановке значений (4.63) и (4.65) в выражение (4.59), получаем

.

Тогда прогиб в середине мембраны

Для стальной мембраны при = 0,3 прогиб

. (4.66)

Точное решение, полученное путем интегрирования дифференциаль­ных уравнений (4.53), дает

.

Нормальное напряжение получается, если в формулу (4.58) подставить r из формулы (4.62) и w ₀ из формулы (4.66):

.

Точное решение на базе системы (4.53) дает выра­жение

.

Пример 4.1. Определить нормальные напряжения и в точке на верхней поверхности прямоугольной пластины, испытывающей изгиб от мо­ментов М = 0,014 Мнм, распределенных по кромках AD и ВС (рис. 74). Опре­делить радиус кривизны изогнутой срединной поверхности и наибольший прогиб w . Е = 2 Мн/м 2 ; = 0,27.

Отношение сторон пластины Следова­тельно, напряжения в средней части пролета можно вычислить по формулам цилиндрического изгиба.

Погонный изгибающий момент по кромкам AD и ВС

.

Напряжения по формулам (4.21) и (4.22)

Такие же напряжения будут во всех точках верхней поверхности в пределах цилиндрического изгиба.

Кривизна срединной поверхности по формулам (4.15) и (4.19)

поэтому дифференциальное уравнение изо­гнутой срединной поверхности

Два последовательных интегрирова­ния дифференциального уравнения дают

(4.67)

Условия для определения произволь­ных постоянных: 1) х = 0, w = 0 (про­гиб по кромке AD отсутствует); 2) х = 0,30 м, (касательная к изогну­той срединной поверхности в середине пролета горизонтальна). Из первого усло­вия следует, что С₂ = 0. Из второго условия откуда

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в уравнение прогибов (4.67), получаем

Наибольший прогиб при х = 0,30 м

.

Пример 4.2. Для заданной схемы круглой пластины (рис. 75,а) построить эпюру погонных радиальных изгибающих моментов. Коэффициент поперечной деформации m = 0,13; модуль продольной упругости Е = 2 н/см 2 .

Заданная схема отличается от схемы, для которой выведены фор­мулы (4.40) и (4.41), тем, что на окружности радиусом а = 30 см нет равномерно распределенной нагрузки. Если эту нагрузку приложить, то для сохра­нения заданных условий нужно уравновесить ее аналогичной нагрузкой, при­ложенной снизу (рис. 75,б), которую можно заменить равнодействующей сосре­доточенной силой на оси симметрии пластины. Кроме того, на этой оси действует реакция R , равная весу нагрузки, лежащей на пластине,

.

Полная сосредоточенная сила на оси пластины

(4.68)

Знак минус введен потому, что сила Р направлена снизу вверх.

Таким образом, выражения (4.40) и (4.41) для и w могут быть исполь­зованы для схемы на рис. 75,а, если вместо Р подставить в них выражение (4.68). Интенсивность нагрузки q = 4000 н/м 2 = 0,4 н/см 2 .

.

В формулу (4.31) для радиального момента входит

,

При подстановке этих выражения в формулу (4.31) получаем

.

Условия для определения произвольных постоянных: 1) х = а, j = 0; 2) х = b , M_r = 0. Из первого условия

После выполнения арифметических действий

После выполнения арифметических действий

Совместное решение уравнения (4.69) и (4.70) дает значения произвольных постоянных:

Подставив значения D и найденные значения произвольных постоянных в выражение для изгибающего момента M_r , получим

Подставляя последовательно значения х через 20 см в это уравнение, можно найти значения радиальных моментов (табл. 3). По этим ординатам построена эпюра радиальных моментов (рис. 75,в).

Источник