Расчет диаметра вала по касательным напряжениям

iSopromat.ru

Пример решения задачи по расчету (и подбору по ГОСТ) диаметров поперечного сечения вала нагруженного крутящими моментами по условию прочности при кручении.

Задача

Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности. На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.

На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d_B/d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности.

Решение

Разбиваем вал на силовые участки, строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).

Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.

Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.

Для участка с кольцевым сечением:

Для вала сплошного поперечного сечения

Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:

Наибольшее действующее на этих участках напряжение:

Диаметр вала на III участке (М_К3 = 5М = 5 кНм):

Аналогично диаметр вала на IV участке М_К4=3М=3 кНм.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Расчеты стержней при кручении

Нагружение стержня, при котором из всех внутренних силовых факторов в его поперечных сечениях не равен нулю только момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня, называется кручением. Стержни, работающие в таких условиях, называются валами.

При кручении цилиндрического вала, в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, и это напряженное состояние называется «чистый сдвиг». При этом, поперечные сечения вала остаются плоскими и не меняют своего размера в радиальном направлении. Так же не меняются расстояния между поперечными сечениями, но при этом они поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол φ.

В общем случае, максимальные касательные напряжения возникают у края поперечного сечения, за исключением наружных углов, в которых касательные напряжения равны нулю. Стержень не круглого поперечного сечения испытывает депланации — точки его сечения выходят из плоскости и перемещаются вдоль оси стержня в различных направлениях.

Онлайн расчеты, представленные в данном разделе, рассматривают кручение круглого вала сплошного сечения, кручение круглого вала с отверстием, выполненным с эксцентриситетом, треугольное, прямоугольное сечение, а так же кручение стержней стандартных сечений — уголка, двутавра и швеллера.

Расчет кручения вала круглого сечения

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении вала сплошного круглого сечения.

Исходные данные:

D — наружный диаметр вала, в миллиметрах;

L — длина вала, в миллиметрах;

Т — крутящий момент на валу, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала вала, в паскалях.

КРУЧЕНИЕ ВАЛА КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

Крутящий момент на валу Т, Н*м

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Максимальное касательное напряжение:

Угол поворота:

φ = 2T×L / (π×r 4 × G),где
G — модуль сдвига.

Расчет кручения вала круглого сечения с отверстием

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении вала круглого сечения c отверстием.

Исходные данные:

D — наружный диаметр вала, в миллиметрах;

d — внутренний диаметр вала, в миллиметрах;

e — эксцентриситет отверстия, в миллиметрах;

L — длина вала, в миллиметрах;

Т — крутящий момент на валу, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала вала, в паскалях.

КРУЧЕНИЕ ВАЛА С ОТВЕРСТИЕМ

Крутящий момент на валу Т, Н*м

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Расчет кручения стержня прямоугольного сечения

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении стержня прямоугольного сечения.

Исходные данные:

a — длина сечения стержня, в миллиметрах;

b — высота сечения стержня, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

КРУЧЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Расчет кручения стержня треугольного сечения

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении стержня треугольного равнобедренного сечения.

Исходные данные:

a — длина основания сечения стержня, в миллиметрах;

b — длина боковой стороны сечения стержня, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЯ ТРЕУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Длина боковой стороны b, мм

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Расчет кручения стержня прямоугольного сечения с тонкой стенкой

Расчет максимальных касательных напряжений (τ на стороне b иτ₁ на стороне a) и угла поворота при кручении стержня прямоугольного сечения с тонкой стенкой.

Исходные данные:

a — длина сечения сечения стержня, в миллиметрах;

b — высота сечения стержня, в миллиметрах;

s — толщина стенки стержня на стороне b, в миллиметрах;

s₁ — толщина стенки стержня на стороне a, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Максимальное касательное напряжение τ₁, МПа

Расчет кручения уголка

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении уголка.
Стержни таких поперечных сечений как уголок, швеллер, двутавр никогда не предназначаются для передачи крутящего момента, но в некоторых случаях могут испытывать крутящие нагрузки вследствие особенностей общей геометрии конструкции.

Исходные данные:

a — высота уголка, в миллиметрах;

b — ширина уголка, в миллиметрах;

b, d — толщина полок уголка, в миллиметрах;

r — радиус закругления полок, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Расчет кручения швеллера

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении швеллера.

Исходные данные:

a — ширина швеллера, в миллиметрах;

с — высота швеллера, в миллиметрах;

b — толщина полки, в миллиметрах;

d — толщина стенки, в миллиметрах;

r — внутренний радиус закругления, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

Максимальное касательное напряжение τ, МПа

Расчет кручения двутавра

Расчет максимальных касательных напряжений и угла поворота при кручении двутавра.

Исходные данные:

a — ширина двутавра, в миллиметрах;

с — высота двутавра, в миллиметрах;

b — толщина полки, в миллиметрах;

d — толщина стенки, в миллиметрах;

r — внутренний радиус закругления, в миллиметрах;

L — длина стержня, в миллиметрах;

Т — крутящий момент, в ньютонах × метр;

Е — модуль упругости материала стержня, в паскалях.

Источник

iSopromat.ru

Подборка формул для расчета валов и брусьев на кручение и решения задач сопротивления материалов по расчету внутренних моментов, касательных напряжений, деформаций и углов закручивания при кручении.

τ — касательные напряжения,
T – внутренний крутящий момент,
I_p – полярный момент инерции сечения вала,
W_p – полярный момент сопротивления сечения,
[ τ ] – допустимое напряжение,
G – модуль упругости II рода (модуль сдвига),
ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,
D – внешний диаметр вала,
d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.

Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)

Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала

Формулы полярных моментов инерции и сопротивления

• для вала сплошного (круглого) сечения
  
• для вала кольцевого сечения
  

Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности

• сплошное круглое сечение
  
• кольцевое сечение
  

Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Архив рубрики: Задачи на кручение

Проверочный и проектный расчеты при кручении

Задача. Для заданного стального бруса d=50мм (материал – сталь Ст3) построить эпюры крутящих моментов, углов поворота поперечных сечений. Проверить прочность бруса, если допускаемое касательное напряжение [τ]=30МПа. Подобрать для бруса кольцевое сечение при . Сравнить сечения по расходу материала.

1.Расставляем сечения на характерных участках. Начинаем расчет от свободного конца бруса, рассматривая правую часть и отбрасывая оставшуюся левую часть с заделкой. Каждое сечение рассматриваем отдельно, определяя в нем значение крутящего момента.

Строим эпюру М_К

2.Строим эпюру углов поворота сечений. Углы поворота сечений определяем по формуле

Расчет ведем по сечениям от неподвижного конца – стены А, в которой угол поворота равен нулю φ_А=0. В формуле обязательно следует учитывать знаки крутящих моментов.

Модуль сдвига для Ст3 G = 0,8·10 5 МПа = 0,8·10 8 кПа.

Определим полярный момент инерции для круглого сечения:

Вычисляем углы поворота сечений — от стены А.

Если требуется перейти к градусной мере, то:

Далее вычисляем все последующие углы поворота, учитывая ранее найденные:

Строим эпюру φ

3.Проверим прочность бруса по формуле

Максимальный крутящий момент с эпюры М_К = 0,75 кНм.

Определим полярный момент сопротивления сечения:

Тогда —прочность обеспечена.

4.Подбираем кольцевое сечение для вала с .

Наружный диаметр кольца определим по формуле проектного расчета для кольцевого сечения:

Тогда d = 0,8 · 60 = 48 мм.

Проверим прочность подобранного сечения. Полярный момент сопротивления для кольца:

5. Сравним варианты – круглое и кольцевое – по расходу материала

В задаче площадь круглого вала А = 19,6 см 2 , а у кольцевого сечения (полого) А = 10,7 см 2 , что позволяет говорить об экономии материала почти в два раза. Т.о. брус (вал) кольцевого сечения экономичнее равнопрочного сплошного.

Задача на кручение

Для вала определить диаметр, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания.

1) Определяем величины внутренних крутящих моментов M. Для этого разбиваем стержень на участки (I, II, III, IV) и производим расчёт M со свободного конца стержня. Крутящий момент M в сечении равен алгебраической сумме моментов, действующих на стержень с одной стороны (справа) от рассматриваемого сечения.

Расчёт M соответственно по участкам IV, III, II, I:

Зная числовые значения крутящих моментов M, строится эпюра M, при этом положительные значения M откладываются вверх, а отрицательные – вниз от горизонтальной линии.

2) Определяем диаметр стержня из условия прочности: Выразим –полярный момент сопротивления при кручении круглого стержня через диаметр:тогда получим:

берётся из эпюры M по абсолютному значению. Диаметр стержня d округляется до большей величины.

3) Производим расчет жесткости вала при кручении, где — модуль сдвига, а (см 4 ) – полярный момент инерции сечения.

4) Производим расчет – углов закручивания концов участков стержня, начиная от закреплённого конца стержня, где ,(рад):Значения крутящих моментов на участках берутся из эпюры крутящих моментов с учётом их знака. Получив численные значения , строят эпюру . Примерная эпюра показана на рисунке.

Задача

Ступенчатый стержень нагружен крутящим моментом Т .При каком отношении выполняется условие одинаковой прочности по всей длине стержня, если

Условие одинаковой прочности на участках будет выполнено в том случае ,если касательные напряжения будут одинаковы.

Определим касательные напряжения, обозначив крутящий момент в левой стене как , а в правой как :

Определим полярные моменты сопротивления сечений : Тогда найдем соотношение между и :

Теперь составим уравнение деформаций — углов поворота. Начнем от правой стены В, в которой . Внутренний крутящий момент во втором сечении будет равен , а крутящий момент в первом сечении будет равен . Тогда уравнение углов поворота: (2)

Полярные моменты инерции: Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем соотношение между и :

Составим уравнение статики для заданной схемы:Тогда: (4)

Теперь, решая (4) , (3) и (1), получим отношение . Задача решена.

Задача на расчет вала на прочность и жесткость при кручении

Для стального вала, нагруженного внешними крутящими моментами, построить эпюры внутренних крутящих моментов, определить размеры поперечного сечения в виде кольца (d/D=0,85) из условий прочности и жесткости, построить эпюры максимальных касательных напряжений, абсолютных и относительных углов поворота поперечных сечений.

Определим внутренние крутящие моменты. Расчет внутренних крутящих моментов проводится с помощью метода сечений.

Участок LK: М_L= М₄ = 5 кНм; М_К=М₄=5кНм.

Покажем эпюру крутящих моментов на рис.б.

Определяем размеры поперечного сечения вала из условия прочности и жесткости:, где полярный момент сопротивления сечения и полярный момент инерции сечения равны:Максимальный внутренний крутящий момент:

Тогда из условия прочности:

А из условия жесткости: Окончательно принимаем D=90мм.

Для подобранного сечения вала его геометрические характеристики:

Рассчитаем касательные напряжения для участков:

Построим эпюру касательных напряжений на рис.в.

Расчет относительных углов поворота на участках:

Сначала определим жесткость сечения вала при кручении:

Эпюра θ показана на рис. г.

Определение угловых перемещений характерных сечений (идем от опоры В, в которой угол поворота равен 0):

Эпюра φ представлена на рис.д.

Задача на температурные напряжения при кручении

Стальные стержни 1 и 2 нагреваются на . Площадь стержней А.

Определить максимальные напряжения.

При нагреве стержней на возникнут температурные напряжения.

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения и разности температур .

Эти напряжения создадут усилия:

Тогда крутящий момент:

Касательные напряжения:

Следует помнить, что при нагреве стержней в них возникают сжимающие напряжения, а при охлаждении – растягивающие. Эти напряжения, суммируясь с напряжениями от силовых факторов, могут значительно превышать допускаемые. Это обстоятельство следует учитывать при проектировании элементов конструкций.

Задача

К стальному валу приложены три известных момента:

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины).

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к — крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига , — для стали

— полярный момент инерции

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где —максимальное касательное напряжение,

— максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

— полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины:

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача2

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2) Построить эпюру углов поворота.

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

Сократим на , тогда будет:

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

или после сокращения на с 4 :

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через М_А:

С учетом (а), (б) и (в) уравнение (2′′), будет:

откуда находим значение М_А:

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

Для круглого сечения

При заданном соотношении d=c:

— на втором участке

Для кольцевого сечения

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

— на третьем участке

Для прямоугольного сечения . При соотношениях

По таблице α=0,246. И тогда W_к=2∙0,246∙с 3 .

Из условия прочности

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним у которого

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого I_к=β∙h∙b 3 =0,229∙0,092∙0,046 3 =205∙10 -8 м 4 .

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α₀=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси z не может,

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.

Статически неопределимые задачи при кручении. Задача1

Уравнение статики для всего бруса:

В этом уравнении два неизвестных (это реактивные моменты в опорах М_А и М_В). Следовательно, задача один раз статически неопределима, и для ее решения необходимо составить дополнительное уравнение, выражающее факт совместности деформаций всех участков бруса.

Здесь можно рассуждать следующим образом: если удалить одну из опор, то брус станет статически определимым

Теперь крайнее правое сечение получило возможность поворачиваться. Но в заданной системе этот поворот невозможен. Поэтому величину М_В в удаленной опоре следует подобрать так, чтобы угол поворота опорного сечения равнялся нулю:

α_В=0 – это условие деформации.

Раскрывая его, будем иметь:

Тогда условие совместности деформаций (а) превращается в уравнение совместности деформаций:

В этом уравнении три неизвестных крутящих момента (по количеству участков бруса). Для их определения выразим крутящие моменты через заданные внешние скручивающие моменты М₁, М₂ и реактивные моменты, используя метод сечений. Так в любом сечении первого участка:

((b)

Далее, в любом сечении второго участка

Наконец, в любом сечении третьего участка:

Подставляя (b), © и (d) в уравнение (2), будем иметь:

В этом уравнении содержится одно-единственное неизвестное: это реактивный момент в левой опоре М_А. Определив его из решения уравнения (2′), обратной подстановкой в формулы (b), © и (d) определим численные значения крутящих моментов , Таким образом статическая неопределимость задачи будет раскрыта.

Зная крутящие моменты, далее можно решить любую задачу прочности и жесткости бруса.

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом R_ср и толщиной стенки трубы δ

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

Угол закручивания

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

Здесь: W_к=α∙h∙b 2 – момент сопротивления при кручении,

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение», «Таблицы» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

Значения коэффициента γ Запись опубликована 05.09.2014 автором admin в рубрике Задачи, Задачи на кручение.

Источник