Меню

U 100 sin wt укажите амплитуду напряжения

Помощь с отчетом по практике

Анализ цепей синусоидального тока

Цель данного задания – ознакомить студентов с применением символического метода расчета сложных электрических цепей, основанного на комплексном представлении воздействий цепи и вызываемых ими реакций. Данный метод относится к методам анализа линейных электрических цепей в частотной области и служит для определения реакции цепи в установившихся режимах при гармоническом воздействии.

Данное задание дает возможность показать применимость всех ранее рассмотренных методов анализа резистивных цепей для расчета цепей переменного тока, содержащих любое число активных и пассивных элементов.

Для облегчения самостоятельного изучения комплексного метода анализа электрических цепей и выполнения контрольного задания в данном пособии изложены некоторые методические указания, рекомендации и проведены примеры расчета.

Пример 1. Задано синусоидально изменяющееся напряжение u=100sin(wt+30 ° ). Записать его в комплексной форме.

Решение. Гармонической функции времени f(t)=Fmsin(wt+ y ) соответствует комплексное изображение в показательной форме

где –комплексная амплитуда; ejwt–оператор вращения.

В тригонометрической форме записи

f(t) Û Fmej(wt+ y )=Fmcos(wt+ y )+jFmsin(wt+ y ).

Вещественная часть данного комплексного числа соответствует косинусоидально-изменяющейся функции, а мнимая часть – синусоидальной функции. Следовательно, в данном примере

u=100sin(wt+30 ° ) Û 100ej(wt+30 ° )=100ej30 ° ejwt,

u=100sin(wt+30 ° )=Jm(100ej30 ° ejwt).

Комплексная амплитуда напряжения имеет вид

Комплексное действующее значение

Пример 2. Записать мгновенное значение тока, если задано его комплексное действующее значение и синусоидальный закон изменения.

Решение. Для записи мгновенного значения необходимо определить амплитуду и начальную фазу тока. Длина вектора, проведенного из начала координат комплексной плоскости в точку, соответствующую комплексному числу, и называемого модулем, есть действующее значение тока

Максимальное (амплитудное) значение тока Угол y i, образуемый вектором и положительным направлением вещественной оси, называемый аргументом комплексного числа – есть начальная фаза тока. Положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки. Вектор тока расположен во второй четверти комплексной плоскости (вещественная часть тока – отрицательна, а мнимая – положительна).

Угол, образуемый вектором с вещественной осью, определяется как арктангенс отношения мнимой части комплексного числа к вещественной. Поэтому начальная фаза тока

y i=180 ° -arctg(2/1)=180 ° –63 ° 30’=116 ° 30′:

Таким образом, мгновенное значение тока

Пример 3. В схеме (рис. 9) заданы u=56 × sin(wt- p /2), r1=3.5 Ом, XC1=11.5 Ом, r2=XL3=XL1=4 Ом, XC2=r3=3 Ом. Определить все токи, показания вольтметра и амперметра электромагнитной системы, активную, реактивную и полную мощности. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение. Записываем комплексное действующее значение напряжения

Приведем схему к виду, показанному на рис. 10, где

Определяем эквивалентное сопротивление параллельного участка a–b:

Комплексное входное сопротивление всей схемы

Действующее значение тока

Определяем напряжение на зажимах a–b параллельного участка

вольтметр покажет V=| |=20 B, а амперметр A=| |=4 A.

Токи и могут быть определены по формулам

Вычислим активные и реактивные составляющие токов I2 и I3.

Угол сдвига фаз между напряжением и током (он равен аргументу Z2) равен j 2= y uab– y i2=-36 ° 50’–0=-36 ° 50′, а угол сдвига фаз между и

j 3= y uab– y i3=-36 ° 50’–(-90 ° )=53 ° 10′.

Читайте также:  Что такое стабилизатор напряжения для автомагнитолы

Тогда активные составляющие токов I2 и I3

I2a=I2 cos j 2=4 × cos(-36 ° 50′)=4 × 0.8=3.2,

I3a=I3 cos j 3=4 × cos(53 ° 10′)=4 × 0.6=2.4.

Реактивные составляющие токов I2 и I3

I2р=I2 sin j 2=4 × sin(-36 ° 50′)=-4 × 0.6=-2.4,

I3р=I3 sin j 3=4 × sin(53 ° 10′)=4 × 0.8=3.2.

Наконец, определим полную, активную и реактивную мощности в схеме. Запишем мощность в комплексной форме:

где – полная мощность в комплексной форме;

P=Re( )=U × I × cos j – активная мощность;

Q=Jm( )=U × I × sin j – реактивная мощность;

I* – комплексный ток, сопряженный с .

Таким образом, мощность источника

Активная мощность, поступающая из источника, рассеивается в виде тепла в сопротивлениях резисторов схемы;

P=Pr1+Pr2+Pr3=I12r1+ I22r2+ I32r3=(4 )2 × 3.5+42 × 4+42 × 3=224 Вт.

Активная мощность в резисторах r2 и r3 может быть определена и так:

Pr2=Uab × I2a=Uab × I2 × cos j 2=20 × 3.2=64 Вт;

Pr3=Uab × I3a=Uab × I3 × cos j 3=20 × 2.4=48 Вт.

Реактивную составляющую полной мощности можно определить также следующим образом:

Q=QL–QC=(I12XL1+I32XL3)–( I12XC1 +I22XC2)=[(4 )2 × 4+42 × 4]–[(4 )2 × 11.5+42 × 3]=-224 вар,

а для реактивных мощностей участка a–b

QC2=Uab × I2 × sin j 2=Uab × I2p=20(-2.4)=-48 вар,

QC3=Uab × I3 × sin j 3=Uab × I3p=20 × 3.2=64 вар.

Баланс мощностей выполняется.

На рис. 11 приведена векторная диаграмма токов, построенная в комплексной плоскости на основании первого закона
Кирхгофа

Для построения векторной диаграммы напряжений для любого контура (всей цепи) следует предварительно рассчитать напряжения на всех пассивных элементах и источниках токов схемы, задавшись их положительным направлением.

На рис. 11 приведена векторная диаграмма, построенная согласно уравнению по второму закону Кирхгофа

c1= 1 × (-jXc1)=(4-j4)(-j11.5)=-46–j46=46 × e-j135 ° ;

L3= 3 × jXL3=-j4 × j4=16=16 × ej0 ° ;

L1= 1 × jXL1)=(4-j4) × j4=16+j16=16 × ej45 ° ;

C2= 2 × (-jXc2)=4 × (-j3)=-j12=12 × e-j90 ° ;

а напряжение на параллельных ветвях ab= r2+ С2=16-j12.

Построение начинаем, например, с вектора r1, который совпадает по направлению с током 1. Вектор С1 отстает от вектора тока 1 на угол 90 ° . Вектор напряжения r3 совпадает с направлением тока 3 и т. д. Векторные диаграммы построены для комплексных действующих значений токов и напряжений (для комплексных амплитуд векторы должны быть умножены на ).

Пример 4. В схеме (рис. 12) заданы 1=-j110 B, 3=j10 B, 5=j20 B, =40 A, X1=15 Ом, X2=5 Ом, X3=10 Ом, r4=4 Ом, X5=7 Ом. Определить все токи, показания амперметра и вольтметра электромагнитной системы. Составить баланс мощностей.

Решение. Воспользуемся методом контурных токов. Так как в схеме имеется ветвь с идеальным источником J, то в качестве одного из контурных выбираем ток, равный заданному источнику J. При этом должно выполняться условие: в данной ветви должен быть лишь один контурный ток – ток источника J.

С учетом этого выбираем систему независимых контуров с указанными на рис. 12 положительными направлениями контурных токов 11, 22, 33= =40 A.

Читайте также:  В радиусе скольки метров можно попасть под шаговое напряжение

Записываем систему уравнений в канонической форме. Система состоит из двух уравнений:

где собственные сопротивления первого и второго контуров равны:

Z11=Z1+ Z2+ Z3=-jX1+ jX2+ jX3=-j15+j5+j10=0 Ом,

Z22=Z4+ Z3+ Z5=r4+ jX3– jX5=4+j10–j7=4+j3 Ом,

а общие сопротивления ветвей, принадлежащих смежным контурам,

Знаки у сопротивлений обусловлены встречным направлением контурных токов 11 и 22 в сопротивлении Z3 и одинаковым направлением 33 и 11, 22 и 33 соответственно в сопротивлениях Z2 и Z4.

Комплексные токи в ветвях схемы указанных направлений (см. рис. 12) определяем, учитывая, что ток в ветви, принадлежащей одному контуру, равен контурному току с учетом знака; ток в ветви, принадлежащей нескольким контурам, равен алгебраической сумме контурных токов; в обоих случаях со знаком «плюс» берется контурный ток, направление которого совпадает с направлением искомого тока ветви.

3= 22– 11=10+j20, 4= 22+ 33=10+40=50, 5= 22=10.

Мгновенные значения токов записываем, переходя от их комплексных действующих значений:

Амперметр А3 показывает действующее значение тока I3,

Определим напряжение на зажимах источника тока, выбрав его направление, например ca. Уравнение по второму закону может быть записано для любого контура, в который входит ветвь с источником тока.

При обходе контура a–f–c–a по часовой стрелке получим уравнение

ca= 4r4– 2jX2=50 × 4–(-40+j20)j5=300+j200 B.

Вольтметр V, измеряющий действующее значение напряжения Uca, покажет

Баланс мощностей можно составить только для всей схемы, он служит для проверки правильности расчета.

Полная комплексная мощность источников должна быть равна полной комплексной мощности потребителей:

На схеме (см. рис. 12) 1 и 1, 5 и 5, 3 и 3 направлены в одну сторону и являются источниками энергии; напряжение ca и ток направлены встречно, т. е. – источник энергии.

å ист= 1I*1+ 3I*3+ 5I*5+ JJ*=(-j110)(-j20)+j10(10-j20)+j20 × 10+ (300+j200)40=10000+j8300.

Pист=10000 Вт, Qист=8300 вар.

Потребителями являются все пассивные элементы схемы, потребляемую мощность которых можно посчитать так:

где Ik– действующие значения токов (модули);

Zk– комплексные сопротивления.

å потр=I12Z1+ I22Z2+ I32Z3+ I42Z4+ I52Z5=202(-j15)+(20 )2(j5)+ (10 )2(j10)+ 502 × 4+102(-j7)=10000+j8300,

Источник

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Методы расчета цепей синусоидального тока

Способы задания синусоидального тока

Как следует из вышесказанного, синусоидальный ток можно задать четырьмя различными формами: уравнением i = Imsin(wt + y), определяющим мгновенное значение тока (значение тока в любой момент времени), волновой диаграммой, вектором и комплексным числом. При этом мы легко можем перейти от одной формы задания к другой.

1) i = 20sin(wt+110°),

,

;

2) ,

,

i = 8,49sin(wt-60°);

3) ,

i = 5sin(wt-143,1°),

,

u = 100 sin (wt + 60°).

В качестве начальной фазы мы берем не 120°, которые указаны на волновой диаграмме, а тот угол, на который сдвинуто начало синусоиды. Начальная фаза на волновой диаграмме определяется ближайшей к началу координат точкой перехода синусоиды через ноль от минуса к плюсу – это 60°. Так как начало синусоиды смещено от точки влево, то начальная фаза положительна.

Для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений остаются справедливыми сформулированные ранее законы Кирхгофа.

П е р в ы й: в любой момент времени алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

Читайте также:  Жалобы больного при стенокардии напряжения

, (2.8)

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

В т о р о й: в любой момент времени в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех остальных элементах контура:

, (2.9)

где m – число ветвей, образующих контур.

Токи, напряжения и ЭДС, входящие в уравнения (2.8) и (2.9), есть синусоидальные функции времени, которые мы рассматриваем как проекции некоторых векторов на оси координат. Так как сложению проекций соответствует сложение векторов и соответствующих им комплексных чисел, то справедливыми будут следующие уравнения, которые можно записывать как для действующих, так и для амплитудных значений.

Законы Кирхгофа в векторной форме: Законы Кирхгофа в символической форме:
(2.10) (2.11)

Из сказанного вытекают три возможных подхода к расчету цепей синусоидального тока: выполнение операций непосредственно над синусоидальными функциями времени по уравнениям (2.8) и (2.9); применение метода векторных диаграмм, основанного на уравнениях (2.10), использование в расчетах комплексных чисел и уравнений (2.11), являющихся основой символического метода.

Пример 2.4. В узле электрической цепи сходятся три ветви
(рис. 2.14).

Рис. 2.14. Узел электрической цепи

Токи первых двух ветвей известны:

i1 = 8sin(wt+30°) А,

i2 = 6sin(wt+120°) А.

Требуется записать выра­же­ние тока i3 и определить показания амперметров электро­­магнитной системы.

Р е ш е н и е. 1. Непосредственное сложение синусоид:

Сумма двух синусоид одинаковой частоты есть тоже синусоида той же частоты. Ее амплитуда и начальная фаза могут быть найдены по известным из математики формулам:

A,

,

откуда y3 = 66,87°. Итак, i3 = 10sin (wt+66,87°).

2. Применение метода векторных диаграмм.

Рис. 2.15. Векторная диаграмма токов

В соответствии с первым законом Кирхгофа в векторной форме для цепи на рис. 2.14 имеем . В прямоугольной системе координат строим векторы и и находим вектор , равный их сумме (рис. 2.15).

Так как треугольник oab прямоугольный, а сторона ab равна длине вектора I2m, то = А.

Если треугольник получается не прямо­угольным, то применяется теорема косинусов.

Начальная фаза третьего тока равна углу наклона: вектора I3m к горизонтальной оси:

3. Решение символическим методом.

Записываем комплексные амплитуды первого и второго токов:

A,

A.

По первому закону Кирхгофа в символической форме

А.

Модуль последнего комплексного числа равен амплитуде третьего тока, а аргумент – начальной фазе.

Определяем показания амперметров. Приборы электромагнитной системы показывают действующие значения токов и напряжений, поэтому

A, A, A.

Обращаем внимание на то, что . Это не ошибка. В цепях синусоидального тока для показаний приборов законы Кирхгофа не справедливы. Можно складывать мгновенные значения токов (синусоидальные функции времени), векторы и комплексные числа, но не численные значения токов и напряжений, не показания приборов.

Следует заметить, что первый из рассмотренных в примере методов из-за громоздкости вычислительных операций с синусоидами практически не применяется.

Метод векторных диаграмм удобен при решении относительно несложных задач.

В символической форме, как будет показано ниже, можно рассчитать сколь угодно сложную линейную цепь.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Adblock
detector