Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети

Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований:

1. Оценка параметров генеральной совокупности.

2. Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.

Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.

Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности , т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.

Каждый элемент выборки называется вариантой . Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называется относительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом .

Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд — это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака х_i и абсолютной частоты n_i (или относительной частоты ω_i) проявления i-го значения признака x.

Примером вариационного ряда служит таблица

Значение		14,3	14,7	15,0	15,5
Частота		0,08	0,16	0,29	0,34	0,13

Статистическое распределение – это совокупность вариант и соответствующих им частот . Для проверки правильности записи статистического распределения используют условие нормировки: .

Задано распределение частот выборки объема n=20.

Написать распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты. Для этого разделим частоты на объем выборки:

Распределение относительных частот имеет вид:

	0,15	0,5	0,35

Дискретный ряд можно изобразить графически. В прямоугольной декартовой системе координат отмечаются точки с координатами ( ) или ( ), которые соединяются прямыми линиями. Такую ломаную называют полигоном частот.

Построить дискретный вариационный ряд (ДВР) и начертить полигон распределения 45 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

Решение: Для построения вариационного ряда различные значения признака x (варианты) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту.

Построим полигон этого распределения:

Интервальный вариационный ряд используется при большом числе наблюдений. Для построения такого ряда надо выбрать число интервалов признака и установить длину интервала. При большом числе групп величина интервала будет минимальна. Число групп в вариационном ряду можно найти по формуле Стерджеса: (k-число групп, n — объем выборки), а ширину интервала –

где — максимальное; — минимальное значения вариант, а их разность R носит название размаха вариации .

Исследуется выборка из 100 человек из совокупности всех студентов медицинского ВУЗа.

Решение: Рассчитаем число групп: . Таким образом, для составления интервального ряда данную выборку лучше разбить на 7 или 8 групп. Совокупность групп, на которые разбиваются результаты наблюдений и частот получения результатов наблюдений в каждой группе, называют статистической совокупностью .

Для наглядного представления статистического распределения пользуются гистограммой.

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте ω_i.

Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали следующие результаты:

21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I интервал 20-24; II интервал 24-28 и т.д.) и начертить гистограмму.

Интервал	20-24	24-28	28-32	32-36	36-40	40-44	44-48	48-52
Частота

Гистограмма этого распределения имеет вид:

Рис. 13.2. Гистограмма распределения

Варианты заданий

№ 13.1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (В):

227 219 215 230 232 223 220 222 218 219 222 221 227 226 226 209 211 215 218 220 216 220 220 221 225 224 212 217 219 220.

Построить статистическое распределение и начертить полигон.

№ 13.2. Наблюдения за сахаром крови у 50 человек дали такие результаты:

3.94 3.84 3.86 4.06 3.67 3.97 3.76 3.61 3.96 4.04

3.82 3.94 3.98 3.57 3.87 4.07 3.99 3.69 3.76 3.71

3.81 3.71 4.16 3.76 4.00 3.46 4.08 3.88 4.01 3.93

3.92 3.89 4.02 4.17 3.72 4.09 3.78 4.02 3.73 3.52

3.91 3.62 4.18 4.26 4.03 4.14 3.72 4.33 3.82 4.03

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I — 3.45-3.55; II — 3.55-3.65 и т. д.) и изобразить его графически, начертить гистограмму.

№ 13.3. Построить полигон частот распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 100 человек:

№ 13.4. Построить гистограмму распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 50 человек:

Источник

Практическая работа. Случайная величина. Основы статистики.

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ТЕМА: Случайные величины. Основы математической статистики.

ЦЕЛИ: Выявить уровень знаний и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий, Развивать трудоспособность, самостоятельность, трудолюбие, внимание, умение анализировать, работать с учебником.

ТИП УРОКА: Формирование умений и навыков.

Актуализация опорных знаний (тест),

Выполнение 1 части работы, разобрать пример

Самостоятельное выполнение Задачи№1

Выполнение 2 части, разобрать пример,

Самостоятельное выполнение задачи №2

Дан закон распределения случайной величины

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D ( X ) и среднее квадратичное отклонение σ ( X ).

Сумма вероятностей в законе распределения случайной величины равняется 1.

Тогда Р=1 – 0,1 – 0,2 – 0,4 =0,3 . Закон распределения примет вид:

Найдем математическое ожидание данной величины:

М(Х) = 2·0,4 + 5·0,2 + 7·0,1 + 10·0,3 =0,8 + 1 +0,7 +3 = 5,5

Найдем дисперсию по одной из формул:

D ( x ) = M (( x — M ( x )) 2 ) или D ( x )= M ( x 2 ) – M ( x ) 2

По второй формуле, составим закон распределения величины Х 2

Найдем математическое ожидание величины Х 2

М(Х 2 ) = 0,4·4 + 0,2·25 + 0,1·49 +0,3·100 =1,6 +5 + 4,9 + 30 = 41,5

D ( x )= M ( x 2 ) – M ( x ) 2 = 41,5 – 5,5 2 = 41,5 – 30,25 = 11,25

Вычислим среднее квадратичное отклонение σ ( X ) =

σ ( X )==3,35.

Проверим верно ли мы вычислили дисперсию. Вычислим ее по другой формуле. D ( x ) = M (( x — M ( x )) 2 )

Найдем закон распределения величины Х – М(Х)

Найдем закон распределения величины (Х – М(Х)) 2

Найдем математическое ожидание величины: (Х – М(Х)) 2

D ( x ) = M (( x — M ( x )) 2 ) = 12,25·0,4 + 0,25·0,2 + 2,25·0,1 + 20,25·0,3=

Вычислив дисперсию по той и другой формуле, получили одинаковые значения

Для определения норм выработки хронометрировали время ( в секундах) изготовления валов.

100, 115, 100, 100, 100, 115, 135, 140, 125, 115

115, 130, 125, 130, 150, 145, 125, 115,110, 120,

115, 120, 125, 135, 145, 130, 125,115, 100, 105.

Найдите статистическое распределение данной величины, постройте полигон частот, и гистограмму, при m =5.

Составим сначала статистическое распределение:

Построим гистограмму: Найдем размах выборки:

R = «наибольшее значение» — «наименьшее значение»,

Найдем шаг разбиения Δ = . Δ = 50:5 = 10.

Разобьем нашу выборку на промежутки длина каждого из которых будет равняться 10.

Задачи для самостоятельного решения.

Дан закон распределения случайной величины

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D ( X ) и среднее квадратичное отклонение σ ( X ).

Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом получены следующие значения:

215, 215, 218, 223, 230, 230, 218, 215, 223, 230,

226, 215, 215, 223, 230, 215, 224, 218, 224, 226,

230, 215, 220, 220, 223, 220, 220, 220, 223, 220

Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

Дан закон распределения случайной величины

Найдите ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D ( X ) и среднее квадратичное отклонение σ ( X ).

Проведя сбор информации с потребителей, завод, изготавливающий станки получил следующую информацию. В среднем первый ремонт станка приходится на :

год после изготовления. Запишите статистическое распределение, постройте полигон и гистограмму частот при m = 5.

По учебнику ответьте на следующие вопросы:

Чем математическая статистика отличается от теории вероятностей,

Когда и где приходится применять методы математической статистики (Приведите примеры).

Что такое генеральная совокупность и выборка, в чем их основное отличие.

Назовите основные характеристики числовой выборки.

Проиллюстрируйте пример полигона и гистограммы.

Придумайте задачу, при решении которой можно применить методы математической статистики.

1 вариант.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Предназначена для проведения практических работ для студентов 2 курса.

ТЕМА: Случайные величины. Основы математической статистики.

ЦЕЛИ: Выявить уровень знаний и умений по теме: Случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Основы математической статистики.

Отработать умения применять полученные знания при решении задач.

Добиться осознанности при выполнение заданий, Развивать трудоспособность, самостоятельность, трудолюбие, внимание, умение анализировать, работать с учебником.

Номер материала: ДБ-1363309

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Международный конгресс-выставка «Молодые профессионалы» пройдет с 12 по 14 декабря в Москве

Школьники из Москвы выступят на Международной олимпиаде мегаполисов

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник