Комплексное напряжение

Символический метод расчета

Электрических цепей переменного

Синусоидального тока

КОМПЛЕКСНЫЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ

Математическое введение (формула Эйлера)

Между синусоидальными и экспоненциальными (показательными) функциями существует простая зависимость, которая получила название формулы Эйлера,

,

где — мнимая единица. В частности, если ,

.

Формула Эйлера применяется для перевода комплексных чисел из показательной формы в алгебраическую. В показательной форме комплексное число содержит модуль z и аргумент :

.

В алгебраической форме комплексное число имеет действительную часть x и мнимую часть y:

.

, . (4.1)

Решив эти уравнения относительно и , получаем формулы для перевода комплексных чисел из алгебраической формы в показательную

, . (4.2)

В задачах электротехники пределы изменения обычно выбирают в пределах от до и вычисляют по формуле

Для запоминания формул (4.1) и (4.2), предназначенных для перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, можно использовать треугольник, похожий на треугольник сопротивлений (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Треугольник, иллюстрирующий зависимости между действительной и мнимой частями комплексного числа, с одной стороны, и его модулем и аргументом, с другой стороны

Комплексный ток

В электрической цепи с источником синусоидального напряжения протекают синусоидальные токи. Пусть один из них равен

,

где I — действующее значение тока. Запишем соответствующую косинусоидальную функцию

.

Затем с помощью формулы Эйлера составим комплексную функцию

.

Множитель одинаков для всех токов цепи. Комплексное число характеризует ток рассматриваемой ветви.

И 4.1

Определение. Комплексное число называют комплексным током. Модуль комплексного тока равен действующему значению синусоидального тока, аргумент комплексного тока – начальной фазе синусоидального тока.

Комплексное напряжение

Синусоидальному напряжению можно сопоставить комплексное напряжение аналогично тому, как синусоидальному току был поставлен в соответствие комплексный ток:

.

Здесь U – действующее значение напряжения; — его начальная фаза.

И 4.2

Определение. Комплексное число называют комплексным напряжением. Модуль комплексного напряжения равен действующему значению синусоидального напряжения, аргумент комплексного напряжения – начальной фазе синусоидального напряжения.

Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Благодаря тому, что в уравнениях для комплексных токов можно опустить множитель , общий для всех токов, решение алгебраических уравнений оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.

Источник

Закон Ома в комплексной форме

В процессе расчетов электрических цепей переменного синусоидального тока часто бывает полезен Закон Ома в комплексной форме. Под электрической цепью здесь понимается линейная цепь в установившемся режиме работы, то есть такая цепь, в которой переходные процессы завершились и токи установились.

Падения напряжений, ЭДС источников и токи в ветвях такой цепи являются попросту тригонометрическими функциями времени. Ежели даже в установившемся режиме форма тока в цепи не является синусоидой (меандр, пила, импульсные помехи), то и Закон Ома в комплексной форме будет уже не применим.

Так или иначе, всюду в промышленности сегодня применяется система трехфазного переменного синусоидального тока. Напряжение в таких сетях имеет строго определенные частоту и действующее значение. Действующее значение «220 вольт» или «380 вольт» можно встретить в маркировках на разнообразном оборудовании, в технической документации на него. Именно по этой причине, по причине столь явной унификации, Закон Ома в комплексной форме и удобен во многих расчетах электрических цепей (где он применяется совместно с Правилами Кирхгофа).

Обычная форма записи Закона Ома отличается от комплексной формы его записи. В комплексной форме обозначения ЭДС, напряжений, токов, сопротивлений, — записываются как комплексные числа. Это необходимо для того, чтобы удобно учитывать и вести расчеты как с активными, так и с реактивными сопротивлениями, имеющими место в цепях переменного тока.

Не всегда можно просто взять и поделить падение напряжения на ток, иногда важно учесть характер участка цепи, и это вынуждает нас вносить в математику определенные дополнения.

Символьный метод (метод с комплексными числами) позволяет избавиться от надобности решать дифференциальные уравнения в процессе расчета электрической цепи синусоидального тока. Ибо в цепи переменного тока бывает такое, что ток например есть, а падения напряжения на участке цепи нет; или падение напряжения есть, а тока в цепи нет, в то время как цепь, казалось бы, замкнута.

В цепях постоянного тока такое просто невозможно. Вот почему для переменного тока и Закон Ома отличается. Разве что для чисто активной нагрузки в однофазной цепи он может применяться почти без отличий от расчетов с током постоянным.

Комплексное число состоит из мнимой Im и вещественной Re части, при этом его можно представить вектором в полярных координатах. Для вектора будет характерен некий модуль и угол, на который он повернут вокруг начала координат относительно оси абсцисс. Модуль есть амплитуда, а угол — начальная фаза.

Запись данного вектора можно произвести в тригонометрической, показательной или алгебраической формах. Это и будет символьное изображение реальных физических явлений, ибо в реальности мнимых и вещественных характеристик в цепях на самом деле нет. Это лишь удобный метод решения электротехнических задач с цепями.

Комплексные числа можно делить, умножать, складывать, возводить в степень. Эти операции необходимо уметь выполнять чтобы мочь применять Закон Ома в комплексной форме.

Сопротивления в цепях переменного тока подразделяют на: активное, реактивное и полное. Кроме того следует отличать проводимость. Электроемкость и индуктивность обладают реактивными сопротивлениями переменному току. Реактивные сопротивления относятся к мнимой части, а активное сопротивление и проводимость — к части вещественной, то есть к вполне реальной.

Запись сопротивлений в символической форме несет за собой определенный физический смысл. На активном сопротивлении электроэнергия реально рассеивается в форме тепла по Закону Джоуля-Ленца, в то время как на емкости и индуктивности она преобразуется в энергию электрического и магнитного полей. И возможны преобразования энергии из одной из этих форм — в другую: из энергии магнитного поля — в тепловую или из энергии электрического поля частично в магнитную, а частично — в тепловую и т. д.

Традиционно токи, падения напряжений и ЭДС записывают в тригонометрическом виде, где учитываются как амплитуда, так и фаза, что вполне явно отражает физический смысл явления. Однако угловая частота у напряжений и токов может отличаться, поэтому практически более удобна алгебраическая форма записи.

Наличие угла между током и напряжением приводит к тому, что во время колебаний существуют такие моменты, когда ток (или падение напряжения) равен нулю, а падение напряжения (или ток) не равно нулю. Когда напряжение и ток находятся в одной фазе, то угол между ними кратен 180°, и тогда если падение напряжения равно нулю, то и ток в цепи равен нулю. Речь о мгновенных значениях.

Итак, понимая алгебраическую запись, можно записать теперь Закон Ома в комплексной форме. Вместо просо активного сопротивления (свойственного цепям постоянного тока) здесь будет записываться полное (комплексное) сопротивление Z, а действующие значения ЭДС, токов и напряжений — станут комплексными величинами.

Во время расчета электрической цепи с применением комплексных чисел, важно помнить, что данный метод применим только к цепям синусоидального тока и именно в установившемся режиме работы.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Подписывайтесь на наш канал в Telegram!

Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Источник

Комплексная форма напряжения

Часть 3. Представление синусоидальных величин в комплексной форме

Представим в комплексной форме основные физические величины и законы:

2. сопротивление и проводимость;

3. закон Ома, 1-й и 2-й законы Кирхгофа;

Рассмотрим комплексную форму напряжения в двух случаях:

1. переменное напряжение изображается вектором, вращающимся с угловой скоростью ω;

2. переменное напряжение изображается неподвижным вектором.

1-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω ≠ 0 ).

Предположим, что напряжение изменяется по закону

u = U sin ( ωt + ψ ) ( 20 ),

где: u – мгновенное значение напряжения, В;

U — амплитудное значение напряжение, В;

ω – угловая частота переменного тока, рад / с ( с );

t – промежуток времени между моментом времени t = 0 и данным моментом,

ψ – начальная фаза напряжения, электрический градус.

Такое напряжение можно представить комплексным числом

Ủ = U *е = U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) ( 21 ).

В правой части этого числа выражение U sin ( ωt + ψ ) представляет собой мгно-

венное значение синусоидально изменяющегося напряжения. Поскольку в правую часть выражения входит время, эта форма позволяет найти мгновенное значение

напряжения для любого момента времени t. ( см. пример 19 ).

Пример 18.Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.

Решение. Ủ = 310*е .

Пример 19. Напряжение изменяется по закону . Ủ = 310*е .

Найти мгновенные значения этого напряжения для моментов времени t = 0; 0,0025 с; 0,005 с; 0,0075 с; 0,01 с; 0,0125 с; 0,015 с; 0,0175 с; 0,02 с.

Решение. Мгновенное значение синусоидально изменяющегося напряжения

u = U sin ( ωt + ψ ) = 310 sin ( 314t + 30º ).

Примечание: для расчета числа sin ( 314t + 30º ) надо перевести радианы

(в данном случае – 314 ), в градусы. Для этого число радиан ( 314 ) умножают на число градусов в одном радиане, т.е. на число 360º/ 2π ( 1 рад = 360º/ 2π = 57º3′ ).

u = 310 sin ( 314*0 + 30º ) = 310 sin 30º = 310*0,5 = 155 В.

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0025*+ 30º ] = 310 sin( 45º + 30º ) = 310 sin 75º = 300 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,005*+ 30º ] = 310 sin( 90º + 30º ) = 310 sin 120º = 268 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0075*+ 30º ] = 310 sin( 135º + 30º ) = 310 sin 165º = 80 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,01*+ 30º ] = 310 sin( 180º + 30º ) = 310 sin 210º = — 15,5 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0125*+ 30º ] = 310 sin( 225º + 30º ) = 310 sin 255º = — 300 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,015*+ 30º ] = 310 sin( 270º + 30º ) = 310 sin 300º = — 268 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0175*+ 30º ] = 310 sin( 315º + 30º ) = 310 sin 345º = — 80 В;

u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,02*+ 30º ] = 310 sin( 360º + 30º ) = 310 sin 390º =

По найденным числовым значениям при необходимости можно построить волновую ( в виде синусоиды ) диаграмму данного переменного напряжения u ( t ).

2-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω = 0 ).

Подставляем ω = 0 во все полученные в 1-м случае соотношения.

Такое напряжение можно представить комплексным числом

Ủ = U *е = U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) = U cos ( 0*t + ψ ) + j U sin (0*t + ψ ) = U cos ψ + j U sin ψ ( 22 ).

В правой части этого числа выражение j U sin ψ — это мгновенное значе-

ние синусоидально изменяющегося напряжения. На комплексной плоскости j ( х ) это выражение выражается проекцией вектора U на вертикальную ось.

Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выраже-

ние позволяет найти мгновенное значение напряжения только для момента времени t = 0.

Для действующих значений напряжения получим аналогичное выражение

Ủ = U*е ,

где: U = U / — действующее значение напряжения.

Пример 20. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.

Решение. Ủ = 310*е .

Пример 21. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить действующее значение этого напряжения в комплексной форме.

Решение. Действующее значение напряжение U = U / = 310 / = 220 В.

Это напряжение в комплексной форме Ủ = 220*е .

Все приведенные выше рассуждения, касавшиеся напряжений, полностью относятся к токам.

Например, если ток изменяется по закону ι = I sin ( ωt + ψ ), то его можно представить комплексным числом

Ĭ = I *е = I cos ( ωt + ψ ) + j I sin ( ωt + ψ ) ( 23 ).

Поскольку в правую часть выражения входит время, это выражение позволяет найти мгновенное значение тока для любого момента времени t.

Если принять ω = 0 ( вектор тока не вращается ), то комплекс такого тока

Ĭ = I *е = I cos ψ + j I sin ψ ( 24 ).

Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выражение позволяет найти мгновенное значение тока только для момента времени t = 0.

2. Комплексная форма сопротивлений и проводимостей

Комплексным сопротивлением электрической цепи называется отношение комплексного напряжения Ủ к комплексному току Ĭ:

Ž = Ủ / Ĭ = U*е / I *е = ( U / I )*e = z ( cosφ + j sinφ ) =

где: Ž – комплексное сопротивление цепи, Ом;

U – модуль комплексного напряжения, равный действующему его значению, В;

I — модуль комплексного тока, равный действующему его значению, А;

z, r и х – полное, активное и реактивное сопротивления цепи, Ом.

При записи сопротивления в комплексной форме вещественная часть комп-

лексного сопротивления всегда равна активному сопротивлению, а мнимая часть – реактивному.

При индуктивной нагрузке мнимая часть комплексного сопротивления положительна, при емкостной – отрицательна.

Пример 22. В цепь переменного тока включены резистор и индуктивность с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х = 3 + j 4 ( Ом ).

Пример 23. В цепь переменного тока последовательно включены резистор и ем-

кость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r – j х = 3 – j 4 ( Ом ).

Пример 24. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 12 Ом и х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =

= r + j ( х — х ) = 3 + j ( 12 — 4 ) = 3 + j 8 ( Ом ).

Пример 25. В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом и х = 12 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.

Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =

= r + j ( х — х ) = 3 + j ( 4 — 12 ) = 3 – j 8 ( Ом ).

Комплексной проводимостью электрической цепи называется отношение комплексного тока Ĭ к комплексному напряжению Ủ:

Ŷ = Ĭ / Ủ = I*е / U*е = ( I / U )* е = ( I / U )* е =

= y*е = y ( cosφ – j sinφ ) = g – j b ( 26 ),

где: Ŷ — комплексная проводимость, См ( 1 / Ом );

Источник