Напряжение в точке тела
Напряженное состояние в точке тела является ключевым понятием в сопромате. Необходимость введения понятия напряжения в точке для суждения об интенсивности внутренних сил в некоторой точке сечения стержня вызвана неравномерным распределением внутренних сил по длине и поперечному сечению в общем случае нагружения.
Напряжение в точке тела K (обозначено буквой p) – это интенсивность внутренней силы 
, возникающей на бесконечно малой площадке 
в окрестности данной точки (рис. 1.4, а).
В количественном выражении 
.
Понятие о напряжении в точке твердого тела в некотором смысле напоминает понятие о давлении, действующем, например, внутри жидкости. Однако давление в точке жидкости одинаково во всех направлениях. Если проведем через точку K тела другое сечение, иной будет внутренняя сила. Следовательно, иным будет и напряжение, хотя оно возникает в той же самой точке K.
Напряжение в точке тела в разных направлениях (на разных площадках, проходящих через данную точку тела) может быть различным (в частности, оно может возникать только в одном направлении).
Понятие о напряжении в точке деформируемого твердого тела ввел в 1822 г. французский ученый Огюстен Луи Коши.
Основную роль в расчетах прочности играет не полное напряжение p, а его проекции на оси координат x, y и z: нормальное напряжение ( 
– сигма), направленное по перпендикуляру к площадке (параллельно оси z), и касательные напряжения ( 
– тау), лежащие в плоскости сечения и направленные, соответственно, вдоль осей x и y (рис. 1.4, б). Первый индекс у касательных напряжений характеризует нормаль к площадке z, на которой они возникают.
Между полным (
), нормальным () и касательными напряжениями ( 
и 
) существует зависимость:
.
Касательные напряжения служат мерой тенденции одной части сечения смещаться (или скользить) относительно другой его части.
Единицы нормальных и касательных напряжений в СИ – паскаль (Па). Один паскаль – это напряжение, при котором на площадке в один квадратный метр возникает внутренняя сила, равная одному ньютону (то есть равная, приблизительно, весу одного яблока). Как мы увидим в дальнейшем, эта единица напряжения мизерно мала. В сопромате чаще используются другие единицы:
1 МПа = 106 Па; 1 кН/см2 = 107 Па.
В технической системе единиц напряжения измеряются в килограммах силы на миллиметр (сантиметр) в квадрате (кгс/мм2 или кгс/см2) . Следует запомнить, что 1 кН/см2 » 1 кгс/мм2.
Источник
Сопромат .in.ua
изучаем сопротивление материалов
Напряжения
, то есть, напряжение — это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение — это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).
Рассечем тело произвольным сечением Выделим небольшую площадку ∆A. Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим [math]∆\vec
Полное напряжение [math]\vec p[/math], как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σn и касательное к площадке – касательное напряжение [math]\tau_n[/math]. Здесь n – нормаль к выделенной площадке 1 .
Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением – [math]\tau_
Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением [math]\vec p [/math], а с его составляющими [math]σ_x,\tau _
Тензор напряжений
Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений
$$ T _\sigma = \left[\matrix <
\sigma _x & \tau _
\tau _
>\right]$$
Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.
При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.
В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.
При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).
Связь внутренних усилий и напряжений
Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.
Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:
Продольное усилие на площадке dA: dN = σzdA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = [math]\tau
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = [math]\tau
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z: $$\begin
Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:
То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.
1 Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке называется нормальным напряжением и обозначается через σn.
Источник
Сопромат .in.ua
изучаем сопротивление материалов
Напряжения
, то есть, напряжение — это внутреннее усилие, приходящееся на единицу площади. По своей природе напряжение — это поверхностная нагрузка, возникающая на внутренних поверхностях соприкасания частей тела. Напряжение, так же как и интенсивность внешней поверхностной нагрузки, выражается в единицах силы, отнесенных к единице площади:Па=Н/м 2 (МПа = 10 6 Н/м 2 , кгс/см 2 =98 066 Па ≈ 10 5 Па, тс/м 2 и т. д.).
Рассечем тело произвольным сечением Выделим небольшую площадку ∆A. Внутреннее усилие, действующее на нее, обозначим [math]∆\vec
Полное напряжение [math]\vec p[/math], как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σn и касательное к площадке – касательное напряжение [math]\tau_n[/math]. Здесь n – нормаль к выделенной площадке 1 .
Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением – [math]\tau_
Отметим, что в дальнейшем будем иметь дело главным образом не с полным напряжением [math]\vec p [/math], а с его составляющими [math]σ_x,\tau _
Тензор напряжений
Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений
$$ T _\sigma = \left[\matrix <
\sigma _x & \tau _
\tau _
>\right]$$
Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.
При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.
В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.
При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).
Связь внутренних усилий и напряжений
Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.
Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:
Продольное усилие на площадке dA: dN = σzdA
Поперечная сила вдоль оси х: dQ x = [math]\tau
Поперечная сила вдоль оси y: dQ y = [math]\tau
Элементарные моменты вокруг осей x,y,z: $$\begin
Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:
То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.
1 Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке называется нормальным напряжением и обозначается через σn.
Источник
Напряжения
Мерой интенсивности внутренних сил, распределенных по сечениям, служат напряжения – усилия, приходящиеся на единицу площади сечения. Выделим в окрестности точки B малую площадку Δ F (рис. 3.1). Пусть Δ R — равнодействующая внутренних сил, действующих на эту площадку. Тогда среднее значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади Δ F рассматриваемой площадки, будет равно:
.
Рис. 3.1. Среднее напряжение на площадке
Величина p m называется средним напряжением . Она характеризует среднюю интенсивность внутренних сил. Уменьшая размеры площади, в пределе получим
.
Величина p называется истинным напряжением или просто напряжением в данной точке данного сечения.
Единица напряжения – паскаль, 1 Па = 1 Н/м 2 . Так как реальные значения напряжений будут выражаться очень большими числами, то следует применять кратные значения единиц, например МПа (мегапаскаль) 1 МПа= 10 6 Н/м 2 .
Напряжения, как и силы, являются векторными величинами. В каждой точке сечения тела полное напряжение p можно разложить на две составляющие (рис. 3.2):
1) составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая называется нормальным напряжением и обозначается σ ;
2) составляющую, лежащую(в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается τ и называется касательным напряжением . Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей. Принятые обозначения напряжений показаны ни рис. 3.2
У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой координатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным . Обозначения касательных напряжений имеют два индекса: первый из них указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй – какой оси параллельно само напряжение. Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости сечения.
Рис. 3.2. Разложение вектора полного напряжения
Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.3. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке .
Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на элемент (рис.3.3), относительно координатных осей, так, например, для оси x с учетом равновесия элемента, имеем:
.
Повторяя указанные действия для других осей, получим закон парности касательных напряжений :
,
который формулируется следующим образом: составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и противоположны по знаку, то есть либо обе направлены к ребру либо обе направлены от ребра .
Источник