Интеграл напряжения по длине

1.4. Электрическое напряжение. Разность электрических потенциалов

Если частица с зарядом q переносится в электрическом поле вдоль некоторого пути, то действующие на нее силы поля совершают работу. Отношение этой работы к переносимому заряду представляет физическую величину, называемую электрическим напряжением. При перемещении частицы по пути dl (рис. 1.1) силы поля совершают работу

Через обозначен вектор, равный по величине элементу пути dl и направленный по касательной к пути в сторону перемещения заряженной частицы. Угол a есть угол между векторами и .

Работа, совершаемая силами поля при перемещении частицы вдоль всего пути от точки А до точки В (рис. 1.1), равна

Она пропорциональна линейному интегралу напряженности поля вдоль заданного пути. Этот линейный интеграл равен электрическому напряжению вдоль заданного пути от А до В. Принято обозначать напряжение буквой u.

Таким образом, электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути.

Единицей напряжения является вольт (В).

Из сказанного вытекает, что значение напряженности электрического поля равно падению напряжения, отнесенного к единице длины линии напряженности поля.

Рассмотрим теперь величины, именуемые электрическим потенциалом и разностью электрических потенциалов.

В электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру равен нулю:

или в дифференциальной форме

,

где l – контур интегрирования. Величина, стоящая в левой части последнего уравнения называется вихрем или ротором.

Это важное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энергии.

Условие (1.3) или (1.4) говорит о том, что в электростатическом поле линейный интеграл от вектора напряженности поля, взятый от любой точки А до любой точки В, не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется в заданном поле положением точек А и В. Это обстоятельство позволяет ввести понятие о потенциале электростатического поля. Потенциал электростатического поля в точке А определяется как линейный интеграл вектора , взятый от точки А до некоторой точки Р

.

Потенциал в точке Р равен нулю.

Линейный интеграл вектора напряженности поля вдоль некоторого пути от точки А до точки В есть разность потенциалов в точках А и В:

.

Источник

напряжение электрическое

НАПРЯЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ — работа по перемещению единичного электрич. заряда, определяемая интегралом напряжённости эфф. электрич. поля E э (включающего сторонние поля) вдоль заданного контура g, соединяющего две точки (1, 2) токовой цепи или иной эл—динамич. системы:

Измеряется H. э. в СИ в вольтах (1 B = 1 Дж/А . с), в СГСЭ — в г 1/2 см 1/2 с -1 (1СГСЭ = 300 В).

Понятие о H. э. ввёл Г. Ом (G. Ohm), предложивший в 1827 гидродинамич. модель электрич. тока для объяснения открытого им эмпирич. закона (см. Ома закон ).Аналог перепада давлений между двумя точками цепи Ом назвал напряжением. В своих опытах Ом имел дело только с пассивными участками цепи, не включающими эдс, поэтому H. э. совпадало с разностью потенциалов между двумя точками цепи и измерялось по показаниям электроскопа, подключённого к этим точкам. В дальнейшем понятие Н.э. было обобщено на электрич. цепи и системы, включающие активные элементы (электролитич. ванны, электромоторы, аккумуляторы, генераторы, контакты разнородных металлов и полупроводников, проводники с неоднородным распределением темп-ры и т. д.). Термин «Н. э.» применяется при описании процессов в цепях не только постоянного, но и переменного тока, в линиях передач и антеннах.

Читайте также:  Почему повышается напряжение при включении нагрузки

В потенц. эл—статич. полях (E =f) H. э. между точками 1, 2 не зависит от пути интегрирования в (1) и совпадает с разностью потенциалов: u 12 = j 1 — f 2 . В общем случае необходимо указывать контур g в (1).

Вклад в H. э. непотепциальных полей (вихревых и сторонних) принято относить к электродвижущей силе [g]:

На практике, однако, вместо точного указания контура интегрирования g обычно пользуются поясняющими словами. Так, говорят о приложенном к элементу цепи (двухполюснику) H. э., о H. э. на зажимах (клеммах, подводящих проводах) того или иного устройства, о H. э. на входе (плече) многополюсника, понимая под этим H. э. вдоль кривой, огибающей устройство, т. е. чаще всего разность потенциалов между его полюсами. Если контур g выбран внутри проводников цепи, то говорят о падении H. э. на участке цепи или двухполюснике.

В ряде случаев, когда эл—динамич. устройство (напр., электромотор) включает в себя подвижные проводники или когда сторонние силы являются результатом усреднённого воздействия пульсирующих микрополей на быстро осциллирующие носители заряда, падение H. э. U определяется как отношение работы, совершаемой в единицу времени над электрич. током I, к величине тока:

где е — напряжённость микроскопич. электрич. поля, i — плотность микротоков, интегрирование производится по объёму проводника V, <> — знак усреднения по быстрым движениям; = E, = j, но в общем случае . j> Ej, так, в движущихся со скоростью v проводниках . i> = E э . j = E· j + j . [uB]/с (В — индукция магн. поля). Определённое т. о. падение напряжения удовлетворяет закону Ома: U = RI, где R — сопротивление участка цепи.

В случае гармонич. процессов пользуются след. характеристиками: мгновенным значением H. э., u(t), определяемым соотношением (1); комплексной амплитудой H. э., [u(t)=Re(exp(iwt)>] и эфф. значением H. э., u 2 э = (t) = || 2 /2 (черта сверху означает усреднение по периоду колебаний T = 2p/w, w — циклич. частота). Для комплексных амплитуд H. э. и тока закон Ома обобщается в виде

где Z(w) — импеданс двухполюсника. Хотя по форме (2) совпадает с законом Ома, — и при этом не является комплексной амплитудой падения напряжения, а совпадает с комплексной амплитудой H. э. на подводящих проводах. В линиях передач под H. э. понимают интеграл (1) вдоль контура, соединяющего провода линии и лежащего в нормальном к линии сечении.

Измеряется H. э. с помощью вольтметра — гальванометра с большим дополнит. сопротивлением R B ; в идеале R B (электроскоп). Вольтметр измеряет падение H. э. на самом себе — U B (или при R B — разность потенциалов на своих клеммах). Чаще всего U В близко к разности потенциалов между точками подключения вольтметра к цепи, но не всегда. На рис., а изображён трансформатор, по первичной обмотке к-рого течёт линейно растущий во времени ток i. Вторичной обмоткой является виток с длиной l, сопротивлением R, по к-рому течёт пост. ток I. Вольтметр, подключённый к точкам 1, 2 витка (рис., б), покажет падение H. э. U 12 = RIl 12 /l, к-рое не равно ни эдс индукции 12 = RIq/2p, ни разности потенциалов j 1 -f 2 = = RI(l 12 /l— q/2p). В сомнительных случаях для сопоставления показаний вольтметра параметрам диаг-носцируемой цепи обращаются к Кирхгофа правилам.

Лит.: Tамм И. E., Основы теории электричества, 10 изд., M., 1989. M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.

Источник

Читайте также:  Напряжение линейного входа аудио

Интеграл напряжения по длине

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую — как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

. (1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

  1. Определение функции (или ) для исследуемой цепи.
  2. Запись выражения (или ) путем формальной замены t на .
  3. Определение производной .
  4. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

.

  • .
  • .
  • Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

    Метод переменных состояния

    Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

    Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

    Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

    К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

    -возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

    Читайте также:  Повышенное напряжение для электродвигателя

    Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

    Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

    При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

    Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

    ; (2)
    . (3)

    Здесь и — столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; — матрица-столбец источников внешних воздействий; — столбцовая матрица выходных (искомых) величин; — квадратная размерностью (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; — прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); — прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); — прямоугольная размерностью матрица связи входа с выходом.

    Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

    В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

    По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

    ; (4)
    ; (5)
    . (6)

    Поскольку с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

    или в матричной форме записи

    Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

    Вектор начальных значений (0)= .

    Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

    Методика составления уравнений состояния

    Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

    1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

    2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

    3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

    Источник

    Оцените статью
    Adblock
    detector