Как построить круг мора для напряжений

iSopromat.ru

Пример построения круга Мора по заданным главным напряжениям для плоского напряженного состояния элемента.

Построить круг Мора для случая плоского напряженного состояния, показанного на следующем рисунке.

На элемент действуют исключительно нормальные напряжения, которые в таком случае называются главными.

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ .

Для построения круга в данной системе откладываются с учетом их знаков оба напряжения с двух любых смежных площадок (например, верхней и правой) при этом ось напряжений σ необходимо направить вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Построение круга Мора

Из центра системы координат откладываем вдоль оси σ значение главного напряжения с правой площадки σ ₁=100МПа.

Так как это напряжение растягивающее оно откладывается в сторону положительных значений.

На конце отрезка ставим точку и обозначаем ее буквой A.

Аналогичные действия выполняются для смежной площадки элемента, но учитывая то, что напряжение на ней сжимающее, т.е. отрицательное ( σ ₃=-40МПа) его величина откладывается влево от пересечения осей.

Полученный отрезок AB является диаметром круга Мора.
На нем вычерчиваем окружность с центром в середине отрезка AB.

Построение круга Мора по главным напряжениям завершено.

По полученной графике можно с некоторой точностью определить величину и знак нормальных и касательных напряжений для любого положения элемента.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Круги Мора для трехосного напряженного состояния

Трехосное напряженное состояние можно изобразить в плоскости при помощи построения, состоящего из трех кругов, которые называются кругами напряжений Мора (рис.10). Пусть напряженное состояние задано главными напряжениями , , .

Отложим на оси σ отрезки , , и построим на отрезках , , , как на диаметрах, полуокружности. Эти полуокружности ограничивают заштрихованный на рис.10 треугольник, сторонами которого являются дуги окружностей. Все напряжения, возможные при заданном напряженном состоянии, изображаются координатами σ, τ точек, лежащих внутри или на сторонах заштрихованного треугольника.

Для того, чтобы найти напряжения σ и τ, соответствующие площадке, нормаль к которой образует с осями углы α, β, γ, следует отложить при угол , при угол , причем тот и другой углы следует отсчитывать от перпендикуляров к оси в точках и . Пусть наклонные стороны углов и пересекают внешнюю окружность в точках Е и F. Опишем из центра М₁ дугу ЕR радиусом М₁Е, а из центра М₃ – дугу FR радиусом М₃F. Координаты точки R пересечения этих дуг дадут значения нормального напряжения и касательного напряжения на взятой элементарной площадке. Абсолютная величина наибольшего из всех возможных касательных напряжений равна радиусу внешней окружности, т.е. .

Дифференциальные уравнения равновесия элементарного объема тела

Напряженное состояние, при котором тензор напряжений одинаков в каждой точке тела, называется однородным. Но в общем случае тензор напряжений неодинаков в разных точках тела. Он зависит от нагрузки, действующей на поверхность тела. Поэтому существует задача расчета зависимости компонентов тензора от координат точек тела, предполагая, что напряжения на поверхности тела, обусловленные внешними нагрузками, известны.

Рассмотрим плоское напряженное состояние:

Выделим в теле элементарный объем в форме прямоугольника со сторонами и (рис.11).

Примем, что напряжения, действующие на гранях этого прямоугольника, являются непрерывными и дифференцируемыми функциями положения в плоскости и что на противолежащих ребрах эти напряжения отличаются друг от друга на величину первых членов разложения в ряд Тейлора. Следовательно, если напряжения на ребрах, сходящихся в вершине О, равны:

То на противолежащих ребрах они будут равны:

На рисунке показаны напряжения, действующие только вдоль оси х.

На выделенный прямоугольник, кроме поверхностных сил могут действовать и массовые силы, например вес тела, силы инерции и т.д. Обозначим плотность тела через , а суммы проекций массовых сил, отнесенных к единице массы на оси х и у – через Х и Y. Составим уравнение равновесия сил, действующих на прямоугольник в направлении оси х:

Аналогичное уравнение получается и для сил, действующих в направлении оси у. После сокращений получим:

Для определения трех неизвестных , , существует только два уравнения. Поэтому в общем случае эти три функции не могут быть найдены из уравнений равновесия. Следовательно, задача определения компонентов тензора напряжения при плоском напряженном состоянии или плоская задача является статически неопределенной. Для устранения этой неопределенности необходимо ввести в рассмотрение деформации, связав их определенным образом с напряжениями. Полученные уравнения, выведены в предположении, что рассматриваемое тело не деформируется, и называются уравнениями равновесия элементарного объема тела или статическими уравнениями.

Пространственное напряженное состояние.

Выделим в теле элемент в форме параллелепипеда с ребрами , , , которые направлены вдоль осей координат. Найдем уравнение равновесия сил, действующих в направлении оси х:

Аналогичные уравнения получаются в направлении осей у и z. После сокращений получим:

Для определения шести неизвестных компонентов тензора напряжения существует только три уравнения равновесия. Следовательно, пространственная задача определения напряжений также является статически неопределенной. Для устранения этой неопределенности необходимо ввести в рассмотрение деформации, связав их определенным образом с напряжениями.

В большей части задач сопротивления материалов массовые силы оказывают очень незначительное влияние и поэтому при расчетах ими, как правило, пренебрегают. В таком случае в статических уравнениях члены с величинами X, Y, Z пропадают, и остаются уравнения, называемые однородными статическими уравнениями.

Источник

iSopromat.ru

Пример построения круга Мора для плоского напряженного состояния элемента по заданным нормальным и касательным напряжениям.

Построить круг Мора для случая плоского напряженного состояния, показанного на рисунке.

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ .

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Начнем с правой площадки элемента.
Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σ_α =80МПа с учетом его знака.

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τ_α =40МПа так же с учетом знака.

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A.

Аналогично для верхней площадки элемента.

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком.

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Круг мора и формулы

Круг мора

• Больше кругов Плоское напряженное состояние в определенной точке исследовалось аналитически. Вы также можете легко получить графическое представление, которое можно выразить аналитически до получения всех существующих формул. Для этого представим в качестве координат точки на плоскости XY TA. Чтобы узнать, каково

геометрическое расположение этих точек, используйте: Запишите константы a-St1— и R = -Да, 2 2 в формулах (3.14) и (3.15) Эти выражения принимают следующую форму: х-а + я cos2A; Грех 2А для у = R. (3,19) Уравнение (3.19) представляет собой круговое

уравнение, записанное в параметрической форме, центр которого находится на Людмила Фирмаль

оси o на расстоянии a от начала координат (рис. 89). Этот круг дает геометрическую интерпретацию задачи. Он называется кругом напряжений в честь предложенного немецким ученым Отто Мора или кругом Мора. х Рис 89А Соответствует ли произвольная область наклона, определяемая углом a на окружности, точкой? Мы будем

называть точки, нарисованные на этом сайте. Из уравнения (3.19) углы a и 4-90 ° на окружности напряжений соответствуют двум точкам K и Ri (см. Рисунок 89 в конце того же диаметра). Таким образом, для построения круга достаточно знать координаты этих точек: Od, TA и AA + EO °, TA + 90o == — TA> т.е. на любых двух участках,

• перпендикулярных друг другу. Затем, сосредоточив внимание на положении точки K и оси a-t, можно построить саму окружность напряжений на отрезке KKi, как диаметр. В этом случае вы можете сделать эти сайты. После этого круг родинок строится на точках 1 и 2, лежащих на оси а, как видно из рисунка. 89. 95, фиг. 90 указывает круг Крота, построенный с любым начальным местом и напряжением Тул. И ху-ху-ху ч. Его структура выглядит следующим образом: 1. Для осей

a-t отложить значения нормальных и тангенциальных напряжений в одном и том же масштабе и построить точки изображения в соответствии с координатами вертикальных координат l (a /, Tul) и горизонтальных / Людмила Фирмаль

пересечении окружности и линии является точкой этого участка. Докажите заранее, отметим, что ник. = 2A, центрированный на той же дуге, что и вписанный ^ iM AK-a. = OS + CN = -i- + R cos (? + 2A) = ++ R cos p cos2A-sin p sin 2A. Но так как K, потому что p = CL = -x2—, R sin p = KL = tul_, то _Su-4-I — G V ON— —————— —— c s2A-Tuh Sin 2A. Если мы уравняем полученное уравнение с (3.6), то увидим, что существует CW = a a, который необходимо доказать. Аналогичным образом доказано, что MN-R sin (p4-2A) = R cos p sin2A + R sin p cos2A = sin2A + tuh cos2A = TA. Это позволяет легко графически решить проблему определения напряжения на данной наклонной платформе и обратную задачу

определения наклона площадки из-за данного напряжения. Для риса. 91 показан в виде круга Мора определяется наклоном основного сайта. Точки, которые они представляют, представляют собой круги 1 и 2, и их абсциссы имеют экстремальные значения с = atah и A2 = at! Сама платформа перпендикулярна соответствующим балкам А-1 и А-2. Точки 3 и 4, имеющие экстремальные координаты, ttah и nmin. Для риса. Распределение нормальных и касательных напряжений в точках показано в виде векторной диаграммы, построенной с помощью круга напряжений 92. Иллюстрации векторов amin, OA, GL, AC и amax параллельных лучей A-2, A-a, a- ■ B, A-C и A-1 находятся в круге, а длина вектора — в круге. И т.д. на горизонтальной оси

соответствующей точки Длина вектора t равна или пропорциональна продольной оси этих точек, а его направление перпендикулярно соответствующему вектору a или соответствующему лучу на окружности. Обратите внимание, что проверенные свойства бара означают простое практическое правило нахождения его в круге давления: 4 Заказ № 1037 97 Полюс А находится на пересечении лучей, перпендикулярных исходному участку соответствующей точки формирования изображения К. 90 Эти лучи обозначены пунктирными стрелками. Из круга напряжений нетрудно аналитически установить многие из ранее полученных зависимостей. Так, например (рис. 91), A112 = OS ± R = OS ± V C L2 + # A2 = Это соответствует формуле (3.13) или ^ gpahgp Это соответствует (3.16).

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник