Какая зависимость напряжения от времени t соответствует гармоническим колебаниям формула

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Источник

11 класс

§ 32. Процессы при гармонических колебаниях в колебательном контуре

Гармонические колебания заряда, силы тока и напряжения.

Подобно тому как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно так же заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

q = q_msin (ωt + φ₀) или q = q_m cos (ωt + φ₀), (1)

где q_m — амплитуда колебаний заряда; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени q(0) = q₀, а i(0) = 0, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой φ₀ = 0 и амплитудой q_m = q₀:

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вывести груз из положения равновесия и не сообщать ему начальной скорости. Сила тока в контуре i = q’ (q’ — производная заряда по времени) также совершает гармонические колебания.

где I_m = ωq_m — амплитуда колебаний силы тока.

Сопоставив уравнения (1) и (2), можно сделать вывод, что колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на π/2 (рис. 6.5).

Напряжение на обкладках конденсатора также изменяется по гармоническому закону:

где U_m = q_m / C — амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Превращение энергии в колебательном контуре.

Как изменяются энергии электрического и магнитного полей в идеальном колебательном контуре? Для ответа на этот вопрос воспользуемся рисунком 6.6.

Поскольку потерь энергии в рассматриваемом контуре нет, энергия всей колебательной системы (контура) постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Рассмотрим момент, когда заряд конденсатора максимален и равен q_m, а ток отсутствует. В данном случае энергия магнитного поля катушки в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I_m, а конденсатор полностью разряжен. Энергия электрического поля конденсатора в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура запасена в катушке:

При отсутствии потерь на нагревание вещества и излучение электромагнитных волн максимальное значение энергии электрического поля конденсатора контура равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки:

где U_m — максимальное значение напряжения на конденсаторе; I_m — максимальное значение силы тока в катушке. Согласно закону сохранения энергии, сумма мгновенных значений энергий электрического и магнитного полей в колебательном контуре в любой момент времени остаётся неизменной:

где u — мгновенное значение напряжения на конденсаторе; i — мгновенное значение силы тока в катушке.

Итак, в идеальном колебательном контуре в отдельные моменты времени энергия всей колебательной системы может сосредоточиться либо только в катушке индуктивности, либо только в конденсаторе. В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но его перезарядки при этом не произойдёт.

Вопросы:

1. По какому закону изменяются сила тока, напряжение и заряд при свободных электромагнитных колебаниях в контуре?

2. Как можно определить амплитуду колебаний:

б) напряжения на обкладках конденсатора?

3. Чему равна разность фаз между колебаниями силы тока и заряда в идеальном колебательном контуре?

4. В какие моменты времени энергия всей колебательной системы равна максимальному значению:

а) энергии электрического поля;

б) энергии магнитного поля?

Вопросы для обсуждения:

Нa рисунке 6.7 показаны процессы, происходящие в идеальном колебательном контуре за один период, а на рисунке 6.8 — графики, выражающие зависимости мгновенных значений силы тока и напряжения от времени.

а) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, представленные на рисунке 6.7, в? Чему равна сила тока в катушке?

б) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, изображённые на рисунке 6.7, д? Чему равно напряжение на обкладках конденсатора?

в) Какие преобразования энергии происходят в рассматриваемом контуре?

Пример решения задачи

Сила тока в идеальном колебательном контуре изменяется по гармоническому закону i(t) = 0,02sin 500πt (А). Индуктивность контура равна 0,1 Гн. Определите период колебаний, ёмкость конденсатора, максимальную энергию электрического поля.

Эта энергия по закону сохранения энергии равна энергии колебательного контура W и максимальной энергии W_э электрического ноля:

W_м = W_э .

Определим период колебаний в контуре:

Для определения ёмкости конденсатора воспользуемся формулой Томсона:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: W_м = W_э = 2 • 10 -5 Дж; T = 4 • 10 -3 с; C = 4 мкФ.

Упражнения:

1. Чему равны амплитуда колебаний, период и циклическая частота, если заряд конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону:

а) q(t) = 3,5 ∙ 10 -5 cos 4πt (Кл);

б) q(t) = 5 ∙ 10 -6 cos 100πt (Кл);

в) q(t) = 0,4 ∙ 10 -3 sin 8πt (Кл)?

2. Заряд на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону q(t) = 4 • 10 -6 cos 4πt (Кл). Чему равна фаза колебаний заряда спустя 5 с после начала колебаний?

3. В колебательном контуре заряд на пластинах конденсатора с ёмкостью 1 мкФ изменяется с течением времени по закону q(t) = 10 -6 Cos 10 4 πt (Кл). Определите индуктивность контура. Запишите уравнения зависимости силы тока и напряжения от времени. Найдите период и частоту колебаний, амплитуды заряда, силы тока и напряжения.

4. Чему равны амплитуда и период гармонических колебаний, графики которых показаны на рисунке 6.9? Запишите уравнения зависимости q = q(t), i = i(t).

5. По графикам зависимости силы тока в колебательном контуре от времени (рис. 6.10) найдите период колебаний. Запишите уравнения зависимости силы тока и заряда от времени.

Источник

Электромагнитные колебания

Пользователи

8 сообщений
Откуда: Москва
Кто: школьник

У меня не получается(((((( Помогите пожалуйста. Перерыл весь учебник. ничего не могу понять.

1. Период свободных колебаний тока в электрическом контуре равен Т. В некоторый момент энергия электрического поля в конденсаторе достигает максимума. Через какое минимальное время после этого достигает максимума эенергия магнитного поля в катушке?

2. Какая зависимость напряжения от времени t соответствует гармоническим колебаниям?

1) 5ctg (пt/5) 2) 5 cos пt 3) пt/5 4) t 2 /2п

3. Период колебания равен 1мс. Частота этих колебаний равна:

1) 10 Гц 2) 1 кГц 3) 10 кГц 4)1 МГц

4. Если электроёмкость конденсатора в электрическом колебательном контуре уменьшится в 9 раз, то частота колебаний

1) увеличится в 9 раз 2) увеличится в 3 раза 3) уменьшится в 9 раз 4) уменьшится в 3 раза

5. Заряд на пластинах конденсатора изменяется с течением времени в соответствии с выражением q=10 -4 * Sin10 5 пt (Кл). Чему равна амплитуда заряда?

1) 10 -4 Кл 2)10Кл 3)10п Кл 4) 10п * Cos 10 5 пt

6. В схеме, состоящей из конденсатора и катушки, происходят свободные электромагнитные колебания. Если с течением времени начальный заряд, сообщённый конденсатору, уменьшился в 2 раза, то полная энергия , запасённая в конденсаторе:

1) уменьшилась в 2 раза 2) увеличилась в 2 раза 3) уменьшилась в 4 раза 4) не изменилась

7. Модуль наибольшего значения величины, изменяющейся по гармоническому закону, называется

1) периодом 2) амплитудой 3) частотой 4) фазой

8. Период свободных колебаний в контуре с ростом электроёмкости

1) увеличивается 2) уменьшается 3) не изменяется 4) всегда равен нулю

9. В колебательном контуре изменение электрического заряда конденсатора происходит по закону q=3Cos 5t (q измеряется в микрокулонах, t-в секундах). Амплитуда колебаний заряда равна

1) 3 мкКл 2) 5 мкКл 3) 6 мкКл 4) 9 мкКл

10. Изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходит по закону q= 10 -4 * Сos 10пt (Кл). Чему равен периодэлектромагнитных колебаний в контуре (время измеряется в секундах)?

Источник

Гармонические колебания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

• Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

• Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

• Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

• В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линии.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Источник

Adblock
detector