Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока
Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):
С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ
имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,
имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,
и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)
и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,
Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.
2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)
Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости
Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как 
.
На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна
На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли
При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:
1) показательная форма в виде
2) тригонометрическая форма в виде
где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.
Например, имеем комплексное число в показательной форме вида
в тригонометрической форме записи это запишется как
при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что
При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида
переходит к показательному виду по следующим преобразованиям
Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:
-
-
- Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
- В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
- При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
- Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
- Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.
-
Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.
Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов
Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):
Рис.4. Схема с комплексными обозначениями
По закону Ома ток в цепи равен
где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как
Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида 
при φ = 0° равно
Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как
Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде
Находим комплексное сопротивление индуктивности
Находим комплексное сопротивление емкости
Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи
Комплексные напряжения на элементах
Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство 
С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.
Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;
- Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.
Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока
Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что
Комплексное сопротивление первой ветви:
Комплексное сопротивление второй ветви:
Комплексное сопротивление третьей ветви:
— нагрузка носит активно-индуктивный характер
2. Находим действующие значения токов в ветвях:
Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами
Действующие значения, соответственно,
3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:
Источник
Комплексное напряжение
Символический метод расчета
Электрических цепей переменного
Синусоидального тока
КОМПЛЕКСНЫЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ
Математическое введение (формула Эйлера)
Между синусоидальными и экспоненциальными (показательными) функциями существует простая зависимость, которая получила название формулы Эйлера,
,
где 
— мнимая единица. В частности, если 
,
.
Формула Эйлера применяется для перевода комплексных чисел из показательной формы в алгебраическую. В показательной форме комплексное число 
содержит модуль z и аргумент 
:
.
В алгебраической форме комплексное число имеет действительную часть x и мнимую часть y:
.
, 
. (4.1)
Решив эти уравнения относительно 
и , получаем формулы для перевода комплексных чисел из алгебраической формы в показательную
, 
. (4.2)
В задачах электротехники пределы изменения обычно выбирают в пределах от 
до 
и вычисляют по формуле
Для запоминания формул (4.1) и (4.2), предназначенных для перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, можно использовать треугольник, похожий на треугольник сопротивлений (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Треугольник, иллюстрирующий зависимости между действительной и мнимой частями комплексного числа, с одной стороны, и его модулем и аргументом, с другой стороны
Комплексный ток
В электрической цепи с источником синусоидального напряжения протекают синусоидальные токи. Пусть один из них равен
,
где I — действующее значение тока. Запишем соответствующую косинусоидальную функцию
.
Затем с помощью формулы Эйлера составим комплексную функцию
.
Множитель 
одинаков для всех токов цепи. Комплексное число 
характеризует ток рассматриваемой ветви.
| И 4.1 | Определение. Комплексное число называют комплексным током. Модуль комплексного тока равен действующему значению синусоидального тока, аргумент комплексного тока – начальной фазе синусоидального тока. |
Комплексное напряжение
Синусоидальному напряжению можно сопоставить комплексное напряжение аналогично тому, как синусоидальному току был поставлен в соответствие комплексный ток:
.
Здесь U – действующее значение напряжения; 
— его начальная фаза.
| И 4.2 | Определение. Комплексное число  называют комплексным напряжением. Модуль комплексного напряжения равен действующему значению синусоидального напряжения, аргумент комплексного напряжения – начальной фазе синусоидального напряжения. |
Преобразование синусоидальных токов и напряжений в комплексные числа (комплексные токи и напряжения) позволяет преобразовать тригонометрические уравнения, составленные по законам Кирхгофа для синусоидальных токов и напряжений, в алгебраические уравнения для комплексных токов и напряжений. Благодаря тому, что в уравнениях для комплексных токов можно опустить множитель , общий для всех токов, решение алгебраических уравнений оказывается не столь громоздким, как решение тригонометрических уравнений. Решив систему уравнений Кирхгофа относительно комплексных токов, можно затем по комплексным токам определить синусоидальные токи.
Источник