Напряжение в конденсаторе в установившемся режиме
Процесс перехода электрической цепи от одного установившегося режима к другому называется переходным процессом. Примерами переходных процессов являются включение и выключение цепи, замыкание электрической цепи накоротко, изменение ее параметров. Переходные процессы не могут произойти мгновенно, как не могут возникнуть и исчезнуть мгновенно электрические и магнитные поля.
Рисунок 1 Схема для исследования процесса зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения
При включении конденсатора на постоянное напряжение (рисунок 1) в цепи возникает переходной электрический ток, пластины конденсатора начинают заряжаться.
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжений в цепи заряда конденсатора
запишем дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе
Решение дифференциального уравнения (1) в общем виде есть сумма свободной и принужденной составляющих напряжения
Свободную составляющую напряжения uCсв(t) находим, решая однородное дифференциальное уравнение
которому соответствует характеристическое уравнение
Корень характеристического уравнения
Тогда свободная составляющая напряжения
где τ = RC – постоянная времени цепи.
Свободная составляющая напряжения с течением времени стремится по экспоненте к нулю. То есть
Тогда напряжение на конденсаторе
установившийся режим после коммутации.
Принужденную составляющую напряжения uCпр находим из (1) при установившемся режиме цепи
Получили для напряжения на конденсаторе
Постоянную интегрирования А находим из (2) с учетом второго закона коммутации (предполагаем в начальный момент времени конденсатор был не заряжен)
Следовательно, напряжение на конденсаторе в переходном режиме заряда конденсатора
где τ = RC – постоянная времени цепи, характеризующая время переходного процесса в цепи.
В первый момент ток конденсатора (4) от нулевого значения скачком возрастает до значения iC(0) = U/R, затем начинает уменьшаться по экспоненциальному закону до нуля.
Напряжение на конденсаторе (3) изменяется по возрастающей экспоненте от нуля до значения U.
Рисунок 2 Графики тока и напряжения при зарядке конденсатора на постоянное напряжение
В момент коммутации (рисунок 2) кривая тока делает скачок от нулевого значения до максимального iC(0) = U/R (как бы «сопротивление» незаряженного конденсатора при t = 0 равно нулю), а напряжение uС остается в первый момент времени неизменным (по второму закону коммутации).
Источник
Переходные процессы при зарядке и разрядке конденсатора
Рассмотрим схему, в которой путем включения переключателя П в положение 1 замыкают источник постоянного напряжения U на конденсатор емкостью С. На обкладках конденсатора начинают скапливаться заряды и напряжение ис увеличивается до значения, равного U. Это процесс зарядки конденсатора – процесс увеличения энергии электрического поля конденсатора, которая в конце процесса достигает значения CU 2 /2.
Чтобы зарядить конденсатор до напряжения ис=U, ему надо сообщить заряд Q=CU, Этот заряд не может быть сообщен мгновенно, так как для этого потребовался бы ток i=dQ/dt=Q/0=∞.
В действительности зарядный ток в цепи ограничен сопротивлением R и в первый момент не может быть больше U/R. Поэтому процесс зарядки конденсатора растянут во времени и напряжение ис на конденсаторе нарастет постепенно.
Для переходного процесса зарядки конденсатора, включенного по рассматриваемой схеме, можно записать
Подставляя данное выражение в предыдущее, получим
Найдем напряжение на конденсаторе:
Свободное напряжение ис” находят, решая однородное дифференциальное уравнение
которому соответствует характеристическое уравнение RCp+1=0, откуда р=-1/(RC). Тогда свободное напряжение
где τ=RC – постоянная времени цепи.
Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме
причем
,
В предыдущих двух уравнениях постоянную А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий режима работы цепи, которые различны для процессов зарядки и разрядки конденсатора.
Зарядка конденсатора. Рассмотрим конденсатор, который до включения переключателя П в положение 1 не был заряжен. По окончании процесса зарядки напряжение на конденсаторе равно напряжению источника питания U, что следует из уравнения , если учесть, что в установившемся режиме i=i’=0. Таким образом, установившееся напряжение на конденсаторе ис=U. Постоянную А в уравнении определяют, полагая, что при t=0 ис=0. Тогда A=-U.
Итак, напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону
Для определения тока в цепи в необходимо принять i’=0 и А=-U, после чего получим
На рисунке показано изменение тока в цепи и напряжения на конденсаторе при его зарядке. В начальный момент процесса зарядки ток в цепи ограничен только сопротивлением и при малом значении R может достигать больших значений I0=U/R. Переходный процесс, протекающий при зарядке конденсатора, используют в различных устройствах автоматики, например в электронных реле времени.
Постоянная времени τ=RC характеризует скорость зарядки конденсатора. Чем меньше R и С, тем быстрее заряжается конденсатор.
Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный до напряжения Uс конденсатор начнет разряжаться через резистор R. Энергия электрического поля конденсатора будет постепенно расходоваться на нагревание резистора и окружающей среды. По истечении некоторого времени установится режим, при котором напряжение на конденсаторе будет равно нулю (конденсатор полностью разряжен), а тока в цепи не будет.
Принимая ис=0 и находя из начальных условий (при t=0 uc=Uс) А=Uc, получаем, что напряжение на конденсаторе при разрядке, описываемое формулой
,
а ток в цепи, описываемый формулой , с учетом, что i’=0,
Итак, напряжение и ток убывают по экспоненциальному закону. Ток в цепи отрицательный, т. е. направлен противоположно току во время процесса зарядки. Скорость разрядки конденсатора определяется постоянной времени τ=RC. В начальный момент ток разрядки I0=Uc/R. Если бы ток оставался постоянным, то конденсатор полностью разрядился бы через tразр=Q/I0=CUC/(UC/R)=RC=τ.
Поэтому, постоянную времени можно определить как промежуток времени, в течение которого конденсатор полностью зарядился (или разрядился) бы, если бы ток зарядки (или разрядки) оставался постоянным и равным начальному значению U/R (или Uc/R).
Источник
Переходные процессы в цепях постоянного тока с конденсатором
ПЕРЕХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ называется процесс перехода от одного установившегося в цепи режима к другому. Примером такого процесса является зарядка и разрядка конденсатора. В ряде случаях законы постоянного тока можно применять и к изменяющимся токам, когда изменение тока происходит не слишком быстро. В этих случаях мгновенное значение силы тока будет практически одно и то же во всех поперечных сечениях цепи. Такие токи называют квазистационарными
РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА. Если обкладки заряженного конденсатора ёмкости С замкнуть через сопротивление R, то через это сопротивление потечёт ток. Согласно закону Ома для однородного участка цепи
где I и U – мгновенные значения силы тока в цепи и напряжения на обкладках конденсатора. Учитывая, что и , преобразуем закон Ома к виду
(1)
В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются, и после интегрирования получим закон изменения заряда конденсатора со временем
, (2)
где q0 — начальный заряд конденсатора, е — основание натурального логарифма. Произведение RC, имеющее размерность времени, называется время релаксации t . Продифференцировав выражение (2) по времени, найдём закон изменения тока:
, (3)
где I0 — сила тока в цепи в момент времени t = 0. Из уравнения (3) видно, что t есть время, за которое сила тока в цепи уменьшается в е раз.
Зависимость от времени количества теплоты, выделившегося на сопротивлении R при разряде конденсатора можно найти из закона Джоуля-Ленца:
(4)
ЗАРЯДКА КОНДЕСАТОРА.
Считаем, что первоначально конденсатор не заряжен. В момент времени t = 0 ключ замкнули, и в цепи пошёл ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут всё в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его. Запишем закон Ома для этой замкнутой цепи:
.
После разделения переменных уравнение примет вид:
Проинтегрировав это уравнение с учётом начального условия
q = 0 при t = 0 и с учётом того, что при изменении времени от 0 до t заряд изменяется от 0 до q, получим
, или после потенцирования
q = . (4)
Анализ этого выражения показывает, что заряд приближается к своему максимальному значению, равному С, асимптотически при t ® ?.
. (5)
Из закона сохранения энергии следует, что при зарядке конденсатора для любого момента времени работа источника тока dАист рана сумме количества джоулевой теплоты dQ, выделившейся на резисторе R и изменению энергии конденсатора dW:
где dAист =Idt, dQ =I 2 Rdt, dW =d. Тогда для произвольного момента времени t имеем:
Аист(t)===С. (6)
Q(t)==С. (7)
W(t) ==. (8)
МЕТОДИКА И ПОРЯДОК ИЗМЕРЕНИЙ:
В реальных электрических цепях постоянного тока, содержащих конденсаторы, переходные процессы разрядки и зарядки конденсаторов проходят за время порядка 10 –6 – 10 -3 с. Для того,чтобы сделать доступными для наблюдения и измерения электрические параметры при переходных процессах в настоящей компьютерной модели это время значительно увеличено за счёт увеличения ёмкости конденсатора.
ЭКСПЕРИМЕНТ 1
Определение ёмкости конденсатора методом разрядки
1.Соберите на рабочей части экрана замкнутую электрическую цепь, показанную ниже на рис.2. Для этого сначала щёлкните мышью на кнопке э.д.с.,расположенной в правой части окна эксперимента. Переместите маркер мыши на рабочую часть экрана, где расположены точки, и щёлкните маркером мыши в виде вытянутого указательного пальца в том месте, где должен быть расположен источник тока. Подведите маркер мыши к движку появившегося регулятора э.д.с., нажмите на левую кнопку мыши, удерживая её в нажатом состоянии, меняйте величину э.д.с. и установите 10 В. Аналогичным образом включите в цепь 4 других источника тока. Суммарная величина э.д.с. батареи должна соответствовать значению, указанному в таблице 1 для вашего варианта.
Таким же образом разместите далее на рабочей части экрана 7 ламп Л1-Л7 ( кнопка ), Ключ К (кнопка ), вольтметр (кнопка ), амперметр (кнопка ), конденсатор (кнопка ). Все элементы электрической цепи соедините по схеме рис.1 с помощью монтажных проводов (кнопка ).
2. Щёлкните мышью на кнопке «Старт». Должна засветиться лампа Л7, а надпись на кнопке измениться на «Стоп». Курсором мыши замкните ключ К.
3. После установления в цепи стационарного тока ( должны погаснуть лампы Л5 и Л6 и светиться лампы Л1-Л4) запишите показания электроизмерительных приборов в таблицу 2.
4. Нажмите на кнопку «Стоп» и курсором мыши разомкните ключ К.
5. Двумя короткими щелчками мыши на кнопке «Старт» запустите и остановите процесс разрядки конденсатора. Показания амперметра будут соответствовать начальному току разрядки конденсатора I0. Запишите это значение в таблицу 3.
6. Вновь замкните ключ, зарядите конденсатор и повторите п.п. 5, 6 ещё 4 раза.
7. Для каждого опыта рассчитайте It= I0/2,7- силу тока, которая должна быть в цепи разрядки конденсатора через время релаксации t и запишите эти значения в таблицу 3.
8. При разомкнутом ключе нажатием кнопки «Старт» запустите процесс разрядки конденсатора и одновременно включите секундомер.
9. Внимательно наблюдайте за изменением показаний амперметра в процессе разрядки конденсатора. Остановите секундомер и синхронно нажмите кнопку «Стоп» при показании амперметра, равном или близким к It. Запишите это значение времени t1 в таблицу 3.
10. Проделайте опыты п.п.8, 9 ещё 4 раза.
Таблица 1. Суммарное значение э.д.с. источников тока
Таблица 2. Определение сопротивления лампы.
Таблица 3. Результаты измерений и расчётов.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ:
1. По закону Ома для участка цепи Л1-Л4: и результатам измерений, приведённым в таблице 2, определите сопротивление одной лампы.
2. По формуле (при разрядке конденсатора квазистационарный ток протекает по 6 последовательно соединённым лампам) определите ёмкость конденсатора и запишите эти значения в таблицу 3.
3. Рассчитайте погрешности измерений и сформулируйте выводы по результатам проделанной работы.
ЭКСПЕРИМЕНТ 2
Изучение зависимости от времени количества тепла, выделившегося на нагрузке при разряде конденсатора
- Выполняя действия, аналогичные описанным в эксперименте 1, зарядите конденсатор до напряжения, соответствующего суммарному значению э.д.с. для вашего варианта.
- Нажмите кнопку «Стоп» и отключите ключ К.
- Проведите 5-ти секундный процесс частичного разряда конденсатора через подключённые лампы. Для этого нажмите синхронно кнопку «Старт» и кнопку запуска секундомера и через 5 секунд нажатием кнопки «Стоп» остановите процесс разрядки конденсатора.
- Запишите показания амперметра в таблицу 4 и вновь зарядите конденсатор до первоначального напряжения.
- Последовательно увеличивая длительность процесса разрядки конденсатора на 5 с, проделайте эти опыты до времени разрядки, соответствующему полному исчезновению заряда на конденсаторе. (Напряжение на конденсаторе и ток разрядки через лампы должен быть близким к нулю). Результаты измерений тока разрядки запишите в соответствующие ячейки таблицы 4.
Таблица 4. Результаты измерений и расчетов
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ:
- Для каждого времени разрядки вычислите по формуле (4) количество тепла, выделившегося на шести лампах и запишите эти значения в соответствующие ячейки третьей строки табл.4. Полезный совет: для расчётаQвоспользуйтесь программойMSExсel.
- Постройте график зависимости количества выделившегося тепла Q к данному моменту времени от длительности процесса разрядки конденсатора t.
- Сравните рассчитанное количество тепла, выделившееся к моменту полного разряда конденсатора с его теоретическим значением, равным .
- Сделайте выводы по графику и ответу и проведите расчёт погрешностей измерений.
ЭКСПЕРИМЕНТ 3
Проверка закона сохранения энергии в процессе зарядки конденсатора через сопротивление
Рис.3
- Соберите в рабочей части экрана опыта схему, показанную на рис.3. Вольтметр, включённый параллельно 5-ти лампам, будет показывать напряжение на внешнем сопротивлении, а амперметр – силу тока через нагрузку и источники тока. Напряжение на конденсаторе определяется программой автоматически и указывается в вольтах на экране монитора над конденсатором.
- Установите суммарную э.д.с. источников тока, соответствующую значению, приведённому в табл.1 для вашего варианта.
- При разомкнутом ключе К нажмите кнопку «Старт».
- Нажатием кнопки мыши замкните ключ К и начните процесс зарядки конденсаторов. Одновременно с замыканием ключа включите секундомер.
- Через время релаксации t=RС нажатием кнопки «Стоп» остановите процесс и запишите показания электроизмерительных приборов в таблицу 5.
- Нажмите кнопку «Выбор» и обнулите показания напряжений на всех конденсаторах и на электроизмерительных приборах.
- Повторите эти измерения ещё 4 раза и заполните две верхних строки таблицы 5.
Таблица 5. Результаты измерений и расчетов
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ:
- По формулам 6, 7, 8 и измеренным значениям напряжения на конденсаторе Uc рассчитайте величины работу источника тока Аист, изменение энергии конденсатора DW и выделившегося на нагрузке количества тепла Q через время заряда, равного времени релаксации.
- Проверьте выполнение закона сохранения энергии в процессе зарядки конденсатора по формуле: Аист =DW+Q.
- Сделайте выводы по итогам работы.
Вопросы и задания для самоконтроля
Вопросы и задания для самоконтроля
- Что представляет собой конденсатор и от чего зависит его ёмкость?
- Выведите формулы ёмкости плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов.
- Как изменяется разность потенциалов на обкладках конденсатора при его зарядке и разрядке?
- Какой ток называется квазистационарным?
- Выведите формулы электроёмкости батареи последовательно и параллельно соединённых конденсаторов
- Что такое время релаксации?
- Объясните принцип работы экспериментальной установки.
- Нарисуйте графики зависимости силы тока и напряжения от времени при зарядке и разрядке конденсатора.
- Соберите на мониторе такую цепь, состоящую из источника тока, двух ламп, выключателя и соединительных проводов, чтобы с выключением лампы в одной цепи загоралась лампа в другой.
- Определите заряд, который пройдёт через гальванометр в схеме, показанной на рис. 2, при замыкании ключа.
- Конденсатор ёмкости С = 300 пФ подключается через сопротивление R =500 Ом к источнику постоянного напряжения U0. Определите: а) время, по истечению которого напряжение на конденсаторе составит 0,99 U0; в) количество тепла, которое выделится на этом сопротивлении при разрядке конденсатора за это же время.
- Имеется ключ, соединительные провода и две электрические лампочки. Составьте на мониторе электрическую схему включения в сеть этих лампочек, которая должна удовлетворять следующему условию: при замкнутом ключе горит только первая лампочка, при размыкании ключа первая гаснет, а вторая загорается.
- Конденсатору ёмкостью С сообщают заряд q, после чего обкладки конденсатора замыкают через сопротивление R. Определите: а) закон изменения силы тока, текущего через сопротивление; б) заряд, прошедший через сопротивление за время t; в) количество тепла, выделившееся в сопротивлении за это время.
- Определите количество тепла, выделившегося в цепи (рис. 4-6) при переключении ключа К из положения 1 в положение 2. Параметры цепи обозначены на рисунках.
Источник