Напряжения от температурных деформаций

Напряжения, возникающие при изменении температуры всей конструкции или отдельных ее частей по сравнению с начальной температурой (температурой сборки), называются температурными напряжениями.

При совместном воздействии на брус внешних сил и температуры относительная деформация может быть представлена как сумма силовой и температурной деформации:

где а — коэффициент линейного теплового решения; — изменение температуры.

Температурные напряжения существенно зависят от закона распределения температур по брусу. В этом разделе рассматривается лишь случай равномерного распределения температуры как по площади сечения, так и по длине всего бруса или отдельных его участков.

Если все элементы бруса могут свободно расширяться или сжиматься, то изменение температуры не вызывает напряжений. Так, при нагреве бруса с одним закрепленным и другим свободным концом ничто не препятствует тепловому расширению бруса и поэтому в нем внутренние силы не возникают, что подтверждается также уравнением равновесия отсеченной части бруса (рис. 2.34). Но, если тот же брус поместить между двумя абсолютно жесткими стенками (рис. 2.35), препятствующими его температурному расширению, то нагрев бруса вызовет появление в нем внутренних сил. Эти силы не могут быть найдены из уравнений равновесия, так как данная система является статически неопределимой. Уравнение

равновесия бруса показывает лишь, что опорные реакции и равны по величине и противоположны по направлению. Записывая условие равенства нулю суммы температурного расширения бруса и деформации его силами

находим сначала опорную реакцию а затем и температурные напряжения в поперечных сечениях бруса

Полученные результаты показывают, что сила давления бруса на стенки зависит не только от температуры нагрева и свойств материала, но и от площади сечения бруса, а напряжения в нем от площади сечения не зависят. Поэтому никаким увеличением площади сечения бруса нельзя добиться уменьшения в нем температурных напряжений, можно лишь увеличить нагрузку на соединенные с ним детали конструкции. Температурные напряжения можно уменьшить, применяя материал с меньшими Е и а; иногда для той же цели предусматривается устройство специальных температурных швов (зазоров).

Приведенные примеры показывают, что температурные напряжения при равномерном нагреве возникают лишь в статически неопределимых системах.

Пример. Определить усилия в стержнях системы при нагреве стержня 2 на (рис. 2.36). Подвешенный на стержнях брус рассматривать как абсолютно жесткий и невесомый.

Решение. Изобразим систему после деформации. Если бы стержней и 3 не было, то при нагреве стержня 2 узел В занял бы положение Но стержни и 3 препятствуют свободному расширению стержня 2 и поэтому узел В занимает положение В. В результате стержень 2 сжимается, а стержни 1 и 3 растягиваются. Между перемещениями узлов А, В и С существует зависимость (см. рис. 2.36)

Следовательно, уравнение совместности деформаций запишется так:

Составляя еще два уравнения равновесия бруса (см. рис. 2.36)

и решая совместно все эти уравнения, получаем

Усилию приписываем знак минус, так как полученный положительный результат подтверждает, что стержень 2 действительно сжат.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Напряжения, возникающие под действием температуры

Температурные напряжения. При нагреве или охлаждении в элементах конструкций возникают напряжения. Рассмотрим стержень, защемленный с двух сторон и подвергающийся нагреву, т.е. имеем: t₂>t₁.

Схема к расчету нагретого стержня

В случае, если при нагреве или охлаждения стержня, ничего не препятствует изменению его длины, то в нем не возникает никаких напряжений. Другое дело в статически неопределимых системах. При нагреве бруса, жестко защемленного обоими концами (см. схему), заделки препятствуют его свободному удлинению, и в них возникают реактивные силы Р₁ и Р₂ , вызывающие сжатие бруса.

Составим уравнение статики: Р₁ – Р₂ = 0 Как видим, задача статически неопределима.

Если мысленно снять правое защемление, то под действием усилия распора и температуры возникнут перемещения:

, где α – коэффициент линейного расширения материала. Тогда имеем:

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения α и разности температур ∆t.

При нагреве стержня в нем возникают сжимающие напряжения при невозможности свободного удлинения (а), при охлаждении – растягивающие, поскольку брус будет испытывать растяжение, не имея возможности свободно укорачиваться (б). Вообще при изучении температурных напряжений следует строго разграничивать понятия: растяжение и удлинение, сжатие и укорочение, так как в некоторых задачах стержни могут удлиняться, испытывая при этом сжатие и наоборот.

Источник

Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t₁. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t₂. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t₁ до t₂. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.

Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓ_t. По законам физики

где α — коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину

Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука

Приравнивая обе деформации, получаем:

откуда R_B = α×(t₂-t₁)×EF;

Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.

Источник

Температурные воздействия на конструкции – Часть 2: Термомеханика

В этой части рассмотрены теоретические основы температурных воздействий на конструкции с точки зрения классической механики материалов.

В предыдущей части 1 рассмотрены особенности учета температурных воздействий при проектировании конструкций зданий по российскому своду правил СП 20.13330.2011 (СНиП 2.01.07-85).

В части 3 представлены примеры температурных воздействий на простые конструкции – балки с различными условиями закрепления.

1. Теоретические основы температурных воздействий на материалы

1.1. Температурное расширение-сокращение

Изменения температуры вызывают расширение или сокращение конструкционных материалов, в результате чего в них возникают температурные деформации и температурные напряжения. Простая иллюстрация температурного расширения показана на рисунке 2.1, где брусок материала не закреплен и поэтому имеет возможность свободно расширяться [1].

Рисунок 2.1 – Брусок материала под воздействием увеличения температуры [1]

Когда этот брусок нагревается, каждый элемент материала подвергается температурным деформациям по всем направлениям, и, соответственно, размеры бруска увеличиваются также во всех направлениях. Если взять угол А за точку отсчета и дать стороне АВ возможность сохранять свое исходное направление, то брусок примет форму, которая показана штриховыми линиями.

Для большинства конструкционных материалов температурная деформация ε_T является пропорциональной изменению температуры ΔT, то есть

где α – свойство материала, которое называется коэффициентом температурного расширения. Согласно принятому в мире «знаковому соглашению» температурное расширение считается положительным, а температурное сокращение – отрицательным [1, 2].

1.2. Коэффициент температурного расширения конструкционных материалов

Поскольку деформация является безразмерной величиной, этот коэффициент температурного расширения имеет размерность, обратную изменению температуры. В системе СИ размерность α_Т может выражаться как 1/К (величина обратная единице СИ Кельвин) или 1/ºС (величина обратная градусу Цельсия). Величина α_Т является одинаковой в обоих случаях, так как изменение температуры является численно одинаковым как в градусах Кельвина, так и в градусах Цельсия.

Удобно представлять величину коэффициента температурного расширения в единицах 10 -6 /ºС или мкм/м·ºС. Последний вид особенно удобен – он наглядно показывает насколько микрометров удлиняется один метр материала при увеличении температуры на один градус температуры.

Информация о коэффициентах температурного расширения некоторых конструкционных материалов представлена в таблице 1.

Таблица 2.1 — Коэффициент температурного расширения конструкционных материалов [1]

1.3. Коэффициент температурного расширения алюминиевых сплавов

Коэффициенты температурного расширения основных алюминиевых сплавов, которые применяются в строительстве, показаны в таблице 2.

Таблица 2.2 — Коэффициент температурного расширения строительных алюминиевых сплавов [3]

Из таблицы 2.2 видно, что коэффициенты температурного расширения различных алюминиевых сплавов различаются незначительно. Поэтому в своде правил СП 128.13330.2012 (СНИП 2.03.06-85) для расчетов алюминиевых конструкций в интервале температуры от минус 70 ºС до 100 ºС для всех применяемых в строительстве алюминиевых сплавов применяется коэффициент температурного расширения 0,23·10 -4 1/ºС [4]. В европейском стандарте EN 1991-1-5 величина расчетного коэффициента температурного расширения составляет 24·10 -6 1/ºС [5].

1.4. Температурные напряжения

Чтобы продемонстрировать относительную важность температурных напряжений, можно сравнить температурные напряжения с напряжениями, которые возникают при силовом нагружении [1]. Предположим, что мы имеем брус, который нагружен силами в осевом направлении с продольными деформациями, которые даются равенством

где σ – напряжение, а Е – модуль упругости. Далее предположим, что мы имеем идентичный брусок, которые подвержен изменению температуры ΔT. Это означает, что этот брусок имеет температурные деформации согласно равенства (1). Приравнивание этих двух видов деформаций дает уравнение

Вычислим осевое напряжение σ, которое дает такие же деформации, как и изменение температуры ΔT в стержнях из алюминиевого сплава и строительной (малоуглеродистой) стали при увеличении их температуры на 50 ºС.

Для алюминиевого стержня (α = 23·10 6 , Е = 70000 Н/мм 2 ):

σ = 70000·23·10 -6 ·50 = 80,5 Н/мм 2

Для стержня из малоуглеродистой стали (α = 12·10 6 , Е = 210000 Н/мм 2 ):

σ = 210000·12·10 -6 ·50 = 126 Н/мм 2

Отметим известный факт, что при одинаковом изменении температуры температурные напряжения в алюминиевом стержне составляют только 2/3 от величины температурных напряжений в стальном стержне. Так происходит потому, что величина температурных напряжений зависит от произведения модуля упругости и коэффициента температурного расширения (см. формулу (3)). Поэтому, хотя коэффициент температурного расширения алюминия в два раза больше, чем у стали, но модуль упругости алюминия в три раза меньше, чем у стали.

Как видно из приведенных выше расчетов, температурные напряжения могут достигать величин, сравнимых с напряжениями от механических нагрузок. Поэтому термические воздействия на конструкции зданий необходимо учитывать наряду с другими нагрузками, как того и требуют нормативные документы [4, 5].

1.5. Температурные перемещения

Вернемся к бруску материала, показанного на рисунке 1 [1]. Предполагаем, что материал бруска является гомогенным и изотропным, то есть механические свойства материала бруска являются одинаковыми во всем его объеме. Кроме того, предполагаем, что изменение температуры ΔT является однородным, то есть одинаковым, по всему бруску. При таких условиях мы можем вычислить увеличение любого размера бруска путем умножения первоначального размера на температурную деформацию. Например, если один из размеров бруска составляет L, то этот размер увеличиться на величину

Уравнение (4) можно применять для вычисления изменений длин элементов конструкций после однородного нагрева, например, удлинение призматического стержня на рисунке 2.2. Поперечные размеры стержня также изменятся, но эти изменения не показаны на рисунке 2.2, так как обычно они не оказывают влияния на осевые силы, которые передаются этим стержнем.

Рисунок 2.2 – Увеличение длины призматического стрежня
в результате однородного увеличения температуры (уравнение (4)) [1]

Оценим удлинение незакрепленных алюминиевого и стального стержней длиной 3 м при увеличении их температуры на 50 ºС.

Для стержня из малоуглеродистой стали:

При рассмотрении выше температурных деформаций предполагалось, что конструкция не имеет ограничений для своих перемещений, что позволяло ей расширяться или сокращаться совершенно свободно. Такие условия возникают, например, когда объект лежит на гладкой поверхности, на которой не возникает трения [1]. В таких случаях при однородном нагреве всего объекта в целом не возникает напряжений, хотя неоднородные изменения температуры могут вызывать внутренние температурные напряжения. Однако многие конструкции имеют опоры, которые препятствуют свободному расширению и сокращению их размеров. Поэтому в них развиваются температурные напряжения даже, если изменение температуры является однородным по всей конструкции.

1.6. Температурные деформации в статически определимых конструкциях

Рассмотрим ферму АВС из двух стержней, показанную на рисунке 2.3. Предположим, что температура стержня АВ изменилась на ΔТ₁, а стержня ВС – на ΔТ₂. Поскольку эта ферма является статически определимой, то оба стержня могут свободно удлиняться или укорачиваться, давая в результате перемещение соединения В. Однако в этом случае температурные напряжения в стержнях, а также реакции в опорах, отсутствуют.

Рисунок 2.3 – Статически определимая ферма
с однородным изменением температуры в каждом элементе

Это заключение справедливо в целом для всех статически определимых конструкций, а именно: однородное изменение температуры в элементах конструкции вызывают температурные деформации (и соответствующие изменения длин элементов) без возникновения соответствующих температурных напряжений [1, 2].

1.7. Температурные деформации в статически неопределимых конструкциях

Статически неопределимыми конструкциями называются конструкции, у которых число реакций превышает число уравнений статического равновесия. В отличие от статически определимых конструкций при расчете таких конструкций принимаются во внимание прогибы [1, 2].

В статически неопределимой конструкции температурные напряжения могут возникать или не возникать в зависимости от особенностей конструкции и особенностей температурных изменений. Чтобы проиллюстрировать некоторые из таких возможностей, рассмотрим статически неопределимую ферму, показанную на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 — Статически неопределимая ферма
под воздействием изменений температуры

Опоры этой конструкции позволяют узлу D двигаться горизонтально. Поэтому, когда вся ферма однородно нагревается, в ней не возникает температурных напряжений. Все элементы увеличиваются в длине пропорционально своим первоначальным длинам, а вся ферма в целом становится немного больше в размерах.

Однако, если некоторые из стержней нагреваются, а другие – нет, то возникают температурные напряжения, так как статически неопределимое расположение стержней препятствует их свободному расширению.

Заключение

1) Изменение температуры элементов конструкции вызывает в них температурные деформации. Температурные напряжения возникают только в статически неопределимых конструкциях.

2) Однородный нагрев алюминиевого стержня на 50 ºС способен при жестком закреплении концов стержня вызывать значительные температурные напряжения. При таком нагреве удлинение стержня со свободными концами составляет 3,5 мм.

1. James M. Gere & Barry J. Goodno — Mechanics of Materials, 2009

2. Тимошенко С.П., Гере Дж. – Механика материалов, М.: Мир, 1976

3. Aluminum and Aluminum Alloys / ed. J.R. Davis, ASM International, 1993

4. СП 128.13330.2012 (СНИП 2.03.06-85) Алюминиевые конструкции

5. EN 1991-1-5 Еврокод 1: Воздействия на сооружения. Часть 1-5. Основные воздействия. Температурные воздействия

ООО «Алюком»
г. Москва, ул. Нагатинская, д. 16, стр. 9, офис 2-5

Тел.: +7 (495) 268 0444
E-mail: info@alucom.ru

Производство и склад: Калужская обл., г. Малоярославец, ул. Калужская, 64.

Источник

Напряжения от температурных деформаций