Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны
Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.
При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически. Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.
Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения.
Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = Um sin ( ωt + ψ и ).
Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U m , длина которого в произвольно выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Предположим, что вектор U m , начиная с момента времени t = 0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения: u = Um sin ( ωt + ψ и ).
Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора
Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При начальной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U m для t = 0 должен быть расположен на оси абсцисс.
График зависимости любой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени называется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ωt . Временные диаграммы полностью определяют гармоническую функцию, так как дают представление о начальной фазе, амплитуде и о периоде.
Обычно при расчете цепи нас интересуют только действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды этих величин, а также их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому обычно рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной. Такая диаграмма называется векторной диаграммой . При этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в обратном направлении, если они отрицательные.
Если, например, начальный фазовый угол напряжения ψ и больше начального фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ и — ψi и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.
При расчете цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи или напряжения одной и той же частоты.
Предположим, что требуется сложить две ЭДС: e1 = E1 m sin ( ωt + ψ 1e ) и e 2 = E 2m sin ( ωt + ψ 2 e ) .
Такое сложение можно осуществить аналитически и графически. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е1 и е2 в определенном масштабе представлены векторами E1 m E 2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, взаимное расположение вращающихся векторов остается неизменным.
Рис. 2. Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты
Сумма проекций вращающихся векторов E1 m и E 2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Следовательно, при сложения двух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты получается синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E m, равным геометрической сумме векторов E1 m и E 2m: E m = E1 m + E 2m.
Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.
Указанный способ можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание двух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e1— e2 = e1+ (- e2), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, так как все расчеты цепей обычно выполняются для действующих ЭДС и токов.
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Подписывайтесь на наш канал в Telegram!
Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Источник
Как построить векторную диаграмму токов и напряжений
Векторные диаграммы — метод графического расчета напряжений и токов в цепях переменного тока, в которых переменные напряжения и токи символически (условно) изображаются с помощью векторов.
В основе метода лежит тот факт, что всякую величину, меняющуюся по синусоидальному закону (смотрите — синусоидальные колебания), можно определить как проекцию на какое-то выбранное направление вектора, вращающегося вокруг своей начальной точки с угловой скоростью, равной угловой частоте колебаний изображаемой переменной величины.
Поэтому всякое переменное напряжение (или переменный ток), меняющееся по синусоидальному закону, можно изображать с помощью такого вектора, вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте изображаемого тока, причем длина вектора в определенном масштабе изображает амплитуду напряжения, а угол — начальную фазу этого напряжения.
Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:
Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:
Заметим, что согласно закону Ома: I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:
А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на Пи /2 , значит пишем:
Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на Пи/ 2 , следовательно, для катушки запишем:
Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:
Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.
Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:
Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.
Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:
Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.
Напряжение на конденсаторе отстает на Пи/2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.
Напряжение на катушке опережает на Пи /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.
Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.
Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.
Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.
Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):
Из векторных изображений по Теореме Пифагора можем записать:
После элементарных преобразований получим выражение для полного сопротивления Z цепи переменного тока, состоящей из R, C и L:
Тогда получим выражение для закона Ома для цепи переменного тока:
Заметим, что наибольшее значение тока получатся в цепи при резонансе в условиях, когда:
Косинус фи из наших геометрических построений получается:
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Подписывайтесь на наш канал в Telegram!
Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Источник
Онлайн журнал электрика
Статьи по электроремонту и электромонтажу
Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны
Применение векторных диаграмм при расчете и исследовании электронных цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.
Векторные диаграммы являются совокупой векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи либо их амплитудные значения.
Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = Um sin ( ωt + ψ и ).
Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U m , длина которого в произвольно избранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Представим, что вектор U m , начиная с момента времени t = 0, крутится вокруг начала координат против часовой стрелки с неизменной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um оборотится на угол ωt и будет размещен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в избранном масштабе равна моментальному значению изображаемого напряжения: u = Um sin ( ωt + ψ и ).
Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора
Как следует, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При исходной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U m для t = 0 должен быть размещен на оси абсцисс.
График зависимости хоть какой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени именуется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ωt . Временные диаграммы стопроцентно определяют гармоническую функцию, потому что дают представление о исходной фазе, амплитуде и о периоде.
Обычно при расчете цепи нас заинтересовывают только действующие ЭДС, напряжения и токи либо амплитуды этих величин, также их сдвиг по фазе относительно друг дружку. Потому обычно рассматриваются недвижные векторы для некого момента времени, который выбирается так, чтоб диаграмма была приятной. Такая диаграмма именуется векторной диаграммой . При всем этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в оборотном направлении, если они отрицательные.
Если, к примеру, исходный фазовый угол напряжения ψ и больше исходного фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ и — ψi и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.
При расчете цепи переменного тока нередко приходится ложить ЭДС, токи либо напряжения одной и той же частоты.
Представим, что требуется сложить две ЭДС: e1 = E1 m sin ( ωt + ψ 1e ) и e 2 = E 2m sin ( ωt + ψ 2 e ) .
Такое сложение можно выполнить аналитически и графически. Последний метод более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е1 и е2 в определенном масштабе представлены векторами E1 m E 2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, обоюдное размещение крутящихся векторов остается постоянным.
Рис. 2. Графическое сложение 2-ух синусоидальных ЭДС схожей частоты
Сумма проекций крутящихся векторов E1 m и E 2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Как следует, при сложения 2-ух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты выходит синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E m, равным геометрической сумме векторов E1 m и E 2m: E m = E1 m + E 2m.
Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.
Обозначенный метод можно применить для сложения и вычитания хоть какого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание 2-ух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e1— e2 = e1+ (- e2), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с оборотным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, потому что все расчеты цепей обычно производятся для действующих ЭДС и токов.
Источник