Определить напряжение в опасном сечении стержня

iSopromat.ru

Опасным называют сечение балки, в котором под действием внешних нагрузок ожидаются максимальные напряжения. Чаще всего, оно определяется по построенной эпюре изгибающих моментов.

При расчетах на прочность необходимо определять значения внутренних силовых факторов в опасном сечении бруса.

Опасным называют сечение, в котором напряжения вызываемые действием внешних усилий максимальны.

Для определения опасного сечения балки необходимо построить эпюры внутренних поперечных сил и изгибающих моментов.

Из них определяющей является эпюра M, так как изгибающие усилия для балки опаснее поперечных сил.

В данном случае по ранее построенным эпюрам Q и M видно, что балка имеет два опасных сечения:

1. Сечение в точке K где наблюдается максимальное значение изгибающего момента M_{x max}=47,6 кНм, при этом поперечная сила в данном сечении отсутствует (Q_y=0).
2. Сечение в точке C несмотря на то, что момент в нем несколько меньше (M_x=45кНм) тоже является опасным, так как тут одновременно с изгибающим моментом имеет место значительная величина поперечной силы Q_y=58,3кН.

Какое из сечений балки более нагружено могут показать дополнительные расчеты.

• При проверке на прочность
  Рассчитывается величина главных напряжений во всех опасных сечениях, после чего большее из них (по абсолютной величине) сравнивается с соответствующим допустимым значением напряжения для данной задачи.
• При проектировочном расчете (подборе размеров сечения балки)
  Размеры сечения подбираются по максимальному изгибающему моменту, затем выполняется проверка подобранного сечения на прочность по главным напряжениям в опасных сечениях.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Пример решения задачи на расчет нормальных напряжений в сечениях прямого ступенчатого стержня при продольном нагружении.

Задача

Рассчитать величину напряжений в стержне заданной формы, нагруженном продольными силами и построить их эпюру.

Пример решения

Предыдущие пункты решения задачи:

т.е. напряжения определяются отношением соответствующей величины внутренней силы к площади поперечного сечения на рассматриваемом участке стержня.

Площади поперечного сечения стержня:

В пределах участка стержня, где внутренняя сила и площадь постоянны, напряжения тоже будут одинаковы, при этом положительные (растягивающие) внутренние силы в сечениях вызывают действие положительных напряжений, и наоборот.

Величину и знаки внутренних сил примем с построенной эпюры N.

Расчет напряжений

По этим данным строим эпюру нормальных напряжений σ .

По эпюре видно, что все напряжения лежат в пределах допустимых значений, следовательно, поперечные размеры стержня были рассчитаны правильно и необходимая прочность обеспечена.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

iSopromat.ru

Важнейшим критерием оценки прочности балок при изгибе являются напряжения.

Рассмотрим способы расчета напряжений при плоском поперечном изгибе балки

Расчет напряжений

Возникающий в поперечных сечениях при чистом прямом изгибе изгибающий момент M_x

представляет собой равнодействующий момент внутренних нормальных сил, распределенных по сечению и вызывающих нормальные напряжения в точках сечения.

Закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

где:
M — изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении относительно его нейтральной линии X;
I_x — осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси;
y – расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение.

Нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения.

По вышеуказанной формуле, нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

Наибольшие значения имеют напряжения у верхнего и нижнего краев сечения.

Например, для симметричного относительно нейтральной оси сечения, где y₁=y₂=h/2:

Напряжения в крайних точках по вертикали (точки 1 и 2) равны по величине, но противоположны по знаку.

Для несимметричного сечения

напряжения определяются отдельно для нижней точки 1 и верхней точки 2:

где:

W_X — осевой момент сопротивления симметричного сечения;
W_X(1) и W_X(2) — осевые моменты сопротивления несимметричного сечения для нижних и верхних слоев балки.

Знаки нормальных напряжений при их расчете, рекомендуется определять по физическому смыслу в зависимости от того, растянуты или сжаты рассматриваемые слои балки.

Условия прочности при изгибе

Прочность по нормальным напряжениям

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок из пластичного материала записывается в одной крайней точке.

В случае балки из хрупких материалов, которые, как известно, по-разному сопротивляются растяжению и сжатию – в двух крайних точках сечения.

Здесь:
M_max — максимальное значение изгибающего момента, определяемого по эпюре M_x;
[ σ], [ σ]_р, [ σ]_с — допустимые значения напряжений для материала балки (для хрупких материалов – на растяжение (р) и сжатие (с)).

Для балки из хрупкого материала обычно применяют сечения, несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечения располагают таким образом, чтобы наиболее удаленная точка сечения размещалась в зоне сжатия, так как [ σ]_с>[ σ]_р.

В таких случаях, проверку прочности следует обязательно проводить в двух сечениях: с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине (модулю) отрицательным значением изгибающего момента.

При расчете элементов конструкций, работающих на изгиб, с использованием вышеуказанных условий прочности решаются три типа задач:

1. Проверка прочности
   
2. Подбор сечений
   
3. Определение максимально допустимой нагрузки
   

Прочность по касательным напряжениям

В случае прямого поперечного изгиба в сечениях балки, кроме нормальных напряжений σ от изгибающего момента, возникают касательные напряжения τ от поперечной силы Q.

Закон распределения касательных напряжений по высоте сечения выражается формулой Д.И. Журавского

где
S_{x отс} — статический момент относительно нейтральной оси отсеченной части площади поперечного сечения балки, расположенной выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения;
b_y — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки, в которой рассчитывается величина касательных напряжений τ.

Условие прочности по касательным напряжениям записывается для сечения с максимальным значением поперечной силы Q_max:

где [ τ] – допустимое значение касательных напряжений для материала балки.

Полная проверка прочности

Полную проверку прочности балки производят в следующей последовательности:

1. По максимальным нормальным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольший по абсолютному значению изгибающий момент M.
2. По максимальным касательным напряжениям для сечения, в котором возникает наибольшая по абсолютному значению поперечная сила Q.
3. По главным напряжениям для сечения, в котором изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают значительных величин (или когда M_max и Q_max действуют в одном и том же сечении балки).

При анализе плоского напряженного состояния главные напряжения при изгибе, примут вид:

так как нормальные напряжения в поперечном направлении к оси балки принимаются равными нулю.

Проверка прочности осуществляется с помощью соответствующих гипотез прочности, например, гипотезы наибольших касательных напряжений:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Как определить нормальное напряжение?

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 02.02.2016 · Обновлено 28.11.2017

Сегодня будем говорить о том, как определить нормальное напряжение при растяжении (сжатии). Долго говорить не придется, так как определяется оно элементарно.

Формула для нахождения нормального напряжения следующая:

То есть это отношение продольной силы (N) к площади поперечного сечения (A), на которой действует эта сила.

Пример определение нормальных напряжений

Посмотрим, как на практике пользоваться этой формулой. Например, возьмем брус с постоянным поперечным сечением, на который действует кучка внешних сил. Вас просят найти максимальное нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса.

Ваша тактика будет такой: Сначала нужно определить продольные силы и по-хорошему построить эпюру, чтобы видеть наиболее опасное сечение, то есть сечение, в котором внутренняя сила максимальная.

В нашем случае продольную силу берем равной трем килоньютонам и делим на площадь поперечного сечения:

Итого получили максимальное напряжение равное 15 мегапаскалям, что для стального бруса совсем пустяк.

Источник

Опасное сечение — это поперечное сечение, в котором действуют наибольшие внутренние усилия

А где будет располагаться опасное сечение в более сложном случае нагружения (рис. 1.11, б)? Сразу дать правильный ответ до­статочно трудно, так как сосредоточенный изгибающий момент и распределенная нагрузка изгибают балку вниз, а сосредото­ченная сила — вверх, при этом величины моментов от каждого вида нагрузки различны.

Поэтому для сложных случаев нагружения необходимо знать закон изменения по длине балки изгибающего момента или другого внутреннего усилия (например, продольной силы , поперечной силы или крутящего момента ). Этот закон можно изобразить с помощью специальных графиков, называемых эпюрами.

Эпюра — это график, изображающий закон изменения внутрен­него усилия по длине стержня.

В случаях растяжения — сжатия (рис. 1.12, а) или кручения (рис. 1.12, б) ординаты эпюр продольных сил или крутящих моментов также показывают их величины в соответствующих поперечных сечениях.

Любое внутреннее усилие определяется по внешним нагрузкам при помощи метода сечений. Каждая эпюра на разных участках имеет различные знаки.

Правила знаков внутренних силовых факторов (ВСФ).

Рассмот­рим правила знаков для внутренних усилий, применяемые в маши­ностроении:

1. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение отсеченной части и отрицательной, если вызывает ее сжатие.

2. Поперечная сила считается положительной, если она вращает отсеченную часть по ходу часовой стрелки и отрицательной, если вращение происходит против хода часовой стрелки.

3. Изгибающий момент положителен, если сжаты верхние волокна отсеченной части, и отрицателен, если сжаты нижние волокна. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатых волокнах.

4. Правило знаков для крутящего момента удобно принимать произвольным.

Запишем выражение изгибающих моментов для текущегосечения z, например, в консольной балке, находящейся под действи­емсосредоточенной силы (рис. 1.12):

— уравнение прямой.

Из этого следует, что на прямолинейном ненагруженном вне­шней пролетной нагрузкой участке стержня эпюра моментов пря­молинейна, а эпюра поперечных сил постоянна (рис. 1.13, а, б, в).

Запишем выражение изгибающих моментов для текущего сечения z в случае изгиба консольной балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 1.14, а):

— это уравнение квадратной параболы.

В соответствии с дифференциальной зависимостью Журавского:

— уравнение прямой.

Таким образом, на участке с распределенной нагрузкой эпюры изгибающих моментов очерчены по квадратичной параболе с выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки, а эпюра поперечных сил имеет вид трапеции или треугольника и ограни­чена прямой наклонной линией АВ, при этом направление наклона (при обходе слева направо) совпадает с направлением (рис. 1.13 и 1.14).

Примеры построения эпюр (рис. 1.15).

3. напряжения и деформации

Интенсивность, равная величине внутренних сил, приходящихся на единицу площади называется напряжением в точке (рис. 1.16) и является ключевым понятием в сопромате.

Существует 2 вида напряжений:

,

причем (сигма) — нормальное напряжение,действует по нормали (перпендикуляру) к площадке;

(тау) — касательные напряжения, они скользят по площадке, касаются ее(рис. 1.16, в).

Напряжения измеряются в Н/м 2 (Па) и МПа. Иногда используют полное напряжение (рис. 1.16, а, б).

.

Понятие о деформациях. Реальные тела под воздействием внеш­них сил могут изменять свою форму и размеры — деформироваться. Определение величины этих изме­нений называется расчетом на

Все возможные изменения формы мо­жно оценить, используя всего лишь два вида деформаций — линейные(рис. 1.17) и угловые(рис. 1.18).

При нагружении растягивающими си­лами стержень удлиняется. Изменение первоначальной длины стержня называется абсолютным удлинени­ем.

Центральное растяжение (сжатие) возникает в случае, ког­да стержень нагружен силами, совпадающими по направлению с его осью (рис. 1.120). В этом случае из шести внутренних силовых факторов пять равны нулю и только продольная сила .

На растяжение, сжатие ра­ботают многие элементы кон­струкций: стержни ферм, ко­лонны, штоки паровых машин и поршневых насосов, стяжные винты, канаты лебедок и другие детали.

Сдвиг или срез возникает, когда внешние силы смещают два параллельных сечения одно относительно другого, при неизменном расстоянии между ними. На сдвиг или срез работают, например, заклепки или болты, скрепляющие элементы, которые внешние силы пытаются сдвинуть (рис. 1.21).

Кручение возникает при действии на стержень внешних сил, образующих моменты от­носительно продольной оси стержня. При этом из шести внутренних сил только . На круче­ние работают валы, шпин­дели токарных и сверлиль­ных станков, роторы дви­гателей и другие детали (рис. 1.22).

Изгиб — это такой вид нагру­жения, когда внешние силы вызыва­ют моменты относительно оси сим­метрии (или главной оси), расположенный в плоскости поперечного се­чения. Этот момент называется изгибающим. Самый простой случай — это плоский изгиб, когда все внешние силы лежат в одной плоскости, совпадающей во всех рассматриваемых нами случаях с плоскостью симметрии (или глав­ной плоскостью) балки.

Источник