Расчеты на прочность по нормальным напряжениям.
Плоский изгиб.
Пусть во всех поперечных сечениях стержня N= 0; Мy=0; Mx≠0 и стержень изгибается в главной плоскости уz. Изгиб стержня в одной из главных плоскостей называют главным плоским изгибом или просто плоским изгибом.
Рассмотрим более детально плоский изгиб участка стержня моментом М=const (рис. 2.7.1). Такой случай нагружения называется чистым изгибом.
Нормальные напряжения в точках сечения определяются по формуле:
(2.7.1)
где σ – нормальные напряжения в точке;
Мх – момент относительно оси х;
Jx – момент инерции относительно оси х;
у – расстояние от оси х до точки.
По высоте сечения имеем две зоны — растяжения и сжатия, их разделяет нейтральный слой, продольные волокна которого искривляются, но не меняют свое длины (σ = 0). Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения п—п называется нейтральной или нулевой линией. В данном случае она совпадает с осью х и проходит через центр тяжести сечения С.
Остановимся кратко на условиях применения формулы 2.7.1. Если на поверхности балки (или ее модели) перед изгибом нанести ортогональную сетку продольных и поперечных линий, то можно увидеть, что в среднем участке, где балка испытывает чистый изгиб ( Mx=const и Qx=0), поперечные линии остаются прямыми ортогональными к продольным линиям сетки (рисунок 2.7.2)
На участке поперечного изгиба из-за влияния поперечных сил сечения балки слегка искривляются (на рисунке это искривление слегка преувеличено). Поэтому применение гипотезы плоских сечений слегка преувеличено.
Более точный анализ показывает, что отклонение фактической эпюры от линейной эпюры σ, определяемой формулой (2.7.1), зависит от отношения длины и высоты балки l/h. На рисунке 2.7.3, а, б дано сравнение эпюр σ для двух балок, имеющих разное значение l/h.
При малом отношении l/h формула (2.7.1) неприменима. На рис. 2.7.3,б фактическая эпюра σ показана сплошной линией, а по формуле (2.7.1) пунктирной линией. Обычно считается, что ею можно пользоваться с достаточной точностью при l/h ≈8…10 (рис. 2.7.3,а). Но даже в балке с большим l/h она может давать заметную погрешность в областях приложения сосредоточенных сил типа опорных реакций (на рис. 2.7.3,а эти области отмечены штриховкой). Здесь заметное влияние оказывает нарушение и гипотезы плоских сечений, и гипотезы о не надавливания продольных волокон.
Расчеты на прочность по нормальным напряжениям.
Наибольшее нормальное напряжение при плоском изгибе возникает в точке, наиболее удаленной от нулевой линии (у=уmax) Условие прочности по нормальным напряжениям записывается в следующем виде:
(2.7.2)
Источник
Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям
Понятие о деформации изгиба
Нормальные напряжения при чистом изгибе
Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям
Понятие о деформации изгиба
Искривление оси бруса под действием внешней нагрузки называется изгибом. При изгибе в поперечном сечении возникают изгибающие моменты М, т.е. моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости сечения. Если изгибающие моменты являются единственным внутренним усилием, то изгиб называют чистым. Однако в большинстве случаев в сечениях бруса помимо изгибающего момента М возникают и поперечные силы Q. Такой изгиб называют поперечным.
Изгиб может быть прямым (плоским) или косым. Прямой изгиб происходит, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей, косой изгиб — если не проходит.
Нормальные напряжения при чистом изгибе
Если на стержень нанести продольные и поперечные линии и подвергнуть его чистому изгибу, то продольные линии изогнутся по дугам окружностей, а поперечные линии 1-1 и 2-2 останутся прямыми, повернувшись на какой-то угол 
(см. рис. 1).
В результате линия ab удлинится, а lf — укоротится, следовательно верхние волокна стержня испытывают растяжение, а нижние — сжатие. Линия cd, совпадающая с осью стержня сохранит прежнюю длину, т.е. не растягивается и не сжимается. Слой материала, лежащий на линии cd называют нейтральным слоем.
Из точки d проведем линию, параллельно линии 1-1. Образуемый ее угол с линией 2-2 будет . Линия ab удлинилась на дугу 
, длину которой можно определить по формуле:
.
Относительная деформация линии ab будет равна:
,
но 
.
.
,
или 
(1)
Рассмотрим поперечное сечение стержня (рис. 2). В нем будет возникать только одно внутреннее усилие — изгибающий момент М, равный внешнему моменту m.
Установим положение нейтрального слоя, от которого отмеряется расстояние Y. Для этого воспользуемся тем. что равнодействующая элементарных нормальных сил sdA при чистом изгибе должна быть равна нулю:
или подставив формулу (1), получим:
Так как множитель 
величина постоянная, то его можно вынести за знак интеграла и сократить, получим:
Полученный интеграл представляет собой статический момент сечения Sx. Поскольку он равен нулю, то ось X проходит через центр тяжести сечения.
“При чистом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения”.
Элементарные силы, возникающие на элементарных площадках dA, будут вызывать элементарные моменты 
. Сумма элементарных моментов в сечении должна составить изгибающий момент М.
.
Интеграл, входящий в это выражение представляет собой момент инерции сечения относительно оси X (см. формулу (4), лекция 12):
;
;
откуда находим кривизну нейтрального слоя:
(2)
Подставляя это выражение в формулу (1), окончательно получим:
(3)
Из формулы видно, что напряжение прямо пропорционально расстоянию от нейтрального слоя Y. Для точек, находящихся на нейтральном слое, y=0 и x=0. Наибольшие напряжения будут возникать в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя.
Максимальные напряжения будут равны:
;
;
где 
и 
— соответственно высота сжатой и растянутой зоны.
Эпюра напряжений будет иметь вид, показанный на рис. 3.
Если = = 
, то:
,
Обозначив 
, (5)
называемый осевым моментом сопротивления, получим:
(6)
Формула (3) и полученная из нее (6), выведенные при чистом изгибе, применимы и при поперечном изгибе.
Возьмем сумму элементарных моментов 
относительно оси Y (см. рис. 2). Он должен быть равен нулю, так как стержень относительно оси Y не изгибается.
.
Интеграл 
представляет собой центробежный момент инерции 
и он равен нулю. Мы отмечали, что если =0, то ось главная. Следовательно, при плоском изгибе нейтральная ось является центральной и главной.
Расчет балок на прочность по нормальным напряжениям
Как уже отмечалось, пластичные материалы имеют одинаковую прочность на растяжение и сжатие. Поэтому профили балок из пластичных материалов делают симметричными относительно центральной оси. Условие прочности для них:
, (7)
где 
— допускаемое напряжение материала на растяжение.
Из условия прочности можно решить следующие три задачи:
1. Проверить на прочность. Прочность обеспечена, если максимальное напряжение меньше или равно допускаемому напряжению.
2. Подобрать сечение. Из условия прочности получим:
.
Значения Wx находят по формуле (5).
Для прямоугольного сечения:
;
(8)
Задавшись высотой или шириной сечения, можно определить второй размер.
;
; (9)
Для двутавра, швеллера и уголков приводятся таблицы (в конце учебников и в справочниках), в которых в зависимости от номера профиля дается значение Wx. По требуемому значению Wx выбирается нужный номер профиля.
3. Определить эксплуатационные способности. Из условия прочности получим:
.
Балки из хрупких материалов изготавливают несимметричными относительно нейтрального слоя, так как хрупкий материал гораздо лучше сопротивляется сжатию, чем растяжению. В этом случае составляют два условия прочности:
;
и решают те же три задачи, что и для балки из пластичного материала.
Источник