Рабочее напряжение в технической механике

Черчение

Понятия о рабочих, предельных и допускаемых напряжениях

До сих пор говорилось о действии нагрузок на тела. Способность тел про­тивостоять им во многом зависит от возникающих внутренних сил (сил уп­ругости).

Для определения внутренних усилий (или внутренних силовых факто­ров) применяют так называемый метод сечений, который заключа­ется в следующем:

1. В интересующем нас месте мысленно делают разрез бруса (рис. 50, I);

2. Одну из частей (обычно ту, к которой приложено больше сил) отбрасы­вают;

3. Действие отброшенной части бруса на оставшуюся часть заменяют не­известными силами (рис. 50, II);

4. Находят значение этих сил из уравнения равновесия, составленного для оставшейся части бруса.

В частном случае в поперечном сечении стержня может возникнуть: только продольная сила. Если сила направлена от сечения, то этот случай нагружения называется растяжением, в противном случае — сжатием; только поперечная сила (случай сдвига, или среза); только крутящий мо­мент (случай кручения); только изгибающий момент (случай изгиба).

В случае сложных деформаций в поперечном сечении могут возникнуть несколько внутренних силовых факторов, например продольная сила и из­гибающий момент (одновременное действие растяжения и изгиба), крутя­щий и изгибающий моменты (одновременное действие кручения и изгиба) и т. д. Интенсивность внутренних сил характеризуется напряжением, которое определяется силой F, приходящейся на единицу площади ds сечения элемента детали.

Представим теперь (рис. 50, III) внутреннюю силу (как и всякую силу) через вектор. Если разложить вектор внутренних сил, а значит и напряже­ний, по двум взаимно перпендикулярным направлениям, то напряжение, направленное перпендикулярно сечению тела, называют нормаль­ным и на схемах обозначают буквой о. Напряжение, действующее в плос­кости сечения тела, называют касательным и обозначают буквой r. К этим буквам в качестве индексов добавляют обозначения вида деформа­ций: р — растяжение; с — сжатие; к — кручение; u — изгиб; ср — срез или сдвиг. Например, О_р — нормальное напряжение при растяжении; r_к — ка­сательное напряжение при кручении и т. д.

При конструировании машин необходимо обеспечить безопасные напря­жения в деталях при рабочей нагрузке. Напряжения, соответствующие нормальной рабочей нагрузке, называют рабочими напряжени­ями. Рабочие напряжения могут колебаться от средней величины в не­больших пределах. Если машина в работе испытывает значительные перегрузки, то напряжения создают опасность изменения формы и разрушения деталей.

Напряжения, после превышения которых возникают остаточные дефор­мации и опасность разрушения деталей, называют предельными напряжениями. Для пластичных материалов опасным будет напря­жение, при котором переход из состояния упругости в состояние пластич­ности сопровождается появлением остаточных деформаций. Такое напря­жение называют пределом текучести о_m.

Для упругих материалов предельным считают напряжение, после пре­вышения которого наступает разрушение. Такое напряжение называют пределом прочности о_пч.

Для всех конструкционных материалов величины предельных напряже­ний определены экспериментальными механическими испытаниями, ре­зультаты которых приведены в технических справочниках.

Напряжение, которое допускается для безопасной работы деталей ма­шин, исключающее опасность появления остаточных деформаций или раз­рушения, называют допускаемым напряжением О_р. Допус­каемое напряжение меньше предельного в несколько раз.

Отношение предельного напряжения к допускаемому называют коэф­фициентом запаса прочности (k), то есть

Коэффициент запаса прочности задают в зависимости от многих факто­ров: механических свойств материалов, характера нагрузки, назначения изделия и пр.

Для большинства деталей машин и конструкций этот коэффициент при статических нагрузках равен 3. 5, при динамических 6. 10. Для изделий, поломка которых может вызвать большие разрушения и гибель людей, ко­эффициент запаса прочности берут равным 10. 12.

Источник

Тема 2.2. Растяжение и сжатие

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы N, а прочие силовые факторы (поперечные силы, крутящий и изгибающий моменты) равны нулю.

Это самый простой и часто встречающийся вид деформации. Обычно он наблюдается когда внешняя нагрузка действует вдоль продольной оси стержня. Продольной осью стержня называется линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений.

Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилий к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 1.

Рис. 1. Растяжение стержня

Во всех случаях, однако, система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий крепления растянутого стержня, расчетная схема в рассматриваемых случаях (рис. 1, а, б) оказывается единой (рис. 1, в) согласно принципу Сен – Венана.

Если воспользоваться методом сечений (рис. 2), то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы N_z, равные силе F (рис. 2, б).

Сжатие отличается от растяжения, формально говоря, только знаком силы N_z. При растяжении нормальная сила N_z направлена от сечения (рис. 2, б), а при сжатии – к сечению.

Рис. 2. Нормальная сила N

Растягивающие продольные силы принято считать положительными (рис. 3, а), а сжимающие – отрицательными (рис. 3, б).

Рис. 3. Знак продольной силы N

При расчете стержней, испытывающий деформацию растяжения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от N_z), возникающих в стержне, и нахождение линейных перемещений в зависимости от внешней нагрузки.

Продольные силы (N_z), возникающие в поперечных сечениях стержня, определяются по внешней нагрузке с помощью метода сечений.

График, показывающий изменение продольных сил по длине оси стержня, называется эпюрой продольных сил (эп. N_z). Он дает наглядное представление о законе изменения продольной силы.

Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти N_max при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Перед построением эпюр необходимо освободить брус, в котором будем строить эпюры от опорных связей (выделить объект равновесия) и приложить к нему все действующие внешние силы (активные и реактивные). Затем необходимо установить границы участков, в пределах которых закон изменения внутренних сил постоянный. Границами таких участков являются сечения, где приложены сосредоточенные силы или начинается и кончается распределенная нагрузка, а также сечения, где имеется перелом стержня.

Применяя метод сечений и учитывая правила знаков изложенные выше, получаем уравнения изменения внутренних сил в пределах длины каждого участка бруса. Затем, используя, полученные зависимости строим графики (эпюры) этих усилий. Ординаты эпюр в определенном масштабе откладываем от базисной линии, которую проводим параллельно оси бруса.

На основании метода сечений продольная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных к стержню по одну сторону от рассматриваемого сечения, на его продольную ось.

Причем проекция внешней силы берется со знаком плюс, если сила растягивает часть стержня от точки ее приложения до рассматриваемого сечения и, наоборот, со знаком минус – если сжимает.

§2. Напряжение в поперечных сечениях стержня

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил ,остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют — гипотезой плоских сечений. На основании указанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив продольную силу N на площадь А: σ=N/A

Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулe следует подставлять алгебраическое значение N т.е со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия

§3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение σ не превосходит допускаемого [σ] : σ=N/A≤ [σ],

где N — абсолютное продольной силы в сечении;

А — площадь поперечного сечения;

[σ] — допускаемое напряжение пр растяжении или сжатии для материала стержня.

Данное выражение определяет условие прочности при растяжении или сжатии.

С помощью этой формулы решается три вида зада (выполняется три вида расчета):

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силы N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым [σ].

Превышение рабочего (расчетного) напряжения не должно быть больше 5% , иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочее напряжения значительно ниже допускаемых σ

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Метод сечений. Напряжения

Сущность метода сечений

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Но как заглянуть внутрь материального тела, чтобы выяснить, какие же силы возникают между его частицами или отдельными частями, при приложении нагрузок? Представление о внутренних усилиях, возникающих в теле или элементе конструкции можно получить лишь с помощью воображения и аксиом статики, поясняющих условия равновесного состояния материальных тел.
Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений .

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).
При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а , будут главный вектор F_гл , приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М_гл = М_и , уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N , направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q , перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называют внутренними силовыми факторами , действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой , составляющую Q – поперечной силой , пару сил с моментом М_и – изгибающим моментом .

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ M = 0; (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 2) , для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ M_x = 0; Σ M_y = 0; Σ M_z = 0 .

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия: N – продольная сила, Q_x , Q_y – поперечные силы, М_кр – крутящий момент, М_их и М_иу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N . Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q . Это деформация сдвига .

3. В сечении возникает только крутящий момент М_кр . Это деформация кручения .

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и . Это деформация чистого изгиба . Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q , то изгиб называют поперечным .

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

Напряжение

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение (обозначается р ).
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, и определяется, как отношение величины внутренней силы к площади сечения.
Напряжение является величиной векторной.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие (рис. 3) – одну вдоль оси сечения, вторую – в плоскости сечения (перпендикулярно оси). Эти составляющие носят название нормальное напряжение (обозначается σ) и касательное напряжение (обозначается τ ).
Поскольку нормальные и касательные напряжения расположены под прямым углом друг к другу, модуль полного напряжения p можно определить по теореме Пифагора:

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).
1 Па = Н / м 2 . Поскольку эта единица очень мала, в расчетах часто применяют более крупную кратную единицу – мегапаскаль (МПа), который равен миллиону паскалей (10 6 Па).

Объяснить сущность напряжения можно на таком простом примере.
В соответствии с гипотезой об отсутствии первоначальных внутренних усилий, считается, что когда к телу не приложены внешние нагрузки его частицы не взаимодействуют друг с другом, т. е. абсолютно равнодушны к «соседкам» справа, слева и т. п. Но стоит приложить к телу внешнюю нагрузку, его частицы начинают лихорадочно цепляться друг за друга, пытаясь удержаться в «кучке». Если нагрузка растягивает тело, его частицы держатся друг за дружку, не давая разорвать тело, если нагрузка сжимающая — частицы тела стараются удержать «соседок» на прежнем расстоянии.
Совокупность всех этих усилий внутренних частиц, противостоящих внешним раздражителям-нагрузкам, и является напряжением.
Задачи сопромата чаще всего сводятся к тому, чтобы определить предельные величины нагрузок, способных разорвать связи между частицами, из которых состоит тело или, по известным предельным напряжениям определить, какие нагрузки способно выдержать тело не разрушаясь, не деформируясь и т. д.

Нетрудно заметить, что напряжение измеряется в тех же единицах, что и давление, поэтому можно провести некоторую аналогию между этими физическими понятиями. Принципиальная разница заключается в том, что давление — внешний силовой фактор (т. е. воздействующий на тело или его части извне), а напряжение — внутренний силовой фактор, характеризующий степень взаимодействия (взаимосвязи) частиц тела между собой.

Источник