Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
Оглавление
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.
8. Напряжения, возникающие при изменении температуры
В статически неопределимых системах возникают напряжения при отсутствии внешних нагрузок не только от неточности изготовления и сборки, но и от изменения температуры. Возьмем стержень, защемленный неподвижно концами при температуре t1. Длина стержня ℓ, площадь поперечного сечения F, модуль упругости Е. Определить напряжения при изменении температуры до t2. Выясним, какие силы будут действовать на стержень, если температура повысится от t1 до t2. Стержень стремится удлиниться и будет распирать опоры А и В. Со стороны этих опор будут действовать реакции, они и вызовут сжатие стержня. Их величины нельзя найти из уравнений статики, так как единственное условие равновесия дает нам, что реакции опор в точках А и В равны по величине и прямо противоположны. Задача статически неопределимая.
Для составления дополнительного уравнения мысленно отбросим одну из опор, например, опору В и дадим стержню деформироваться в зависимости от температуры на величину ∆ℓt. По законам физики
где α — коэффициент линейного расширения материала. Но так как длина стержня, закрепленного концами, остается и при нагревании неизменной, вернем опору В в первоначальное положение. Стержень укоротится на величину
Это и есть условие совместности деформаций; оно указывает на то, что при изменении температуры длина стержня не изменилась, он не оторвался от неподвижных опор. По закону Гука
Приравнивая обе деформации, получаем:
откуда RB = α×(t2-t1)×EF; 
Напряжение, вызванное изменением температуры в стержне постоянного сечения с жестко защемленными концами, зависит лишь от материала, коэффициента линейного расширения, разности температур и не зависит от его длины и площади поперечного сечения.
Источник
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Напряжения, возникающие под действием температуры
Температурные напряжения. При нагреве или охлаждении в элементах конструкций возникают напряжения. Рассмотрим стержень, защемленный с двух сторон и подвергающийся нагреву, т.е. имеем: t2>t1.
Схема к расчету нагретого стержня
В случае, если при нагреве или охлаждения стержня, ничего не препятствует изменению его длины, то в нем не возникает никаких напряжений. Другое дело в статически неопределимых системах. При нагреве бруса, жестко защемленного обоими концами (см. схему), заделки препятствуют его свободному удлинению, и в них возникают реактивные силы Р1 и Р2 , вызывающие сжатие бруса.
Составим уравнение статики: Р1 – Р2 = 0 Как видим, задача статически неопределима.
Если мысленно снять правое защемление, то под действием усилия распора и температуры возникнут перемещения:
, где α – коэффициент линейного расширения материала. Тогда имеем:
Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения α и разности температур ∆t.
При нагреве стержня в нем возникают сжимающие напряжения при невозможности свободного удлинения (а), при охлаждении – растягивающие, поскольку брус будет испытывать растяжение, не имея возможности свободно укорачиваться (б). Вообще при изучении температурных напряжений следует строго разграничивать понятия: растяжение и удлинение, сжатие и укорочение, так как в некоторых задачах стержни могут удлиняться, испытывая при этом сжатие и наоборот.
Источник
Определение температурных напряжений
В статически неопределимых системах при изменении температуры возникают температурные напряжения (рис. 4.15).
Рис. 4.15. Расчетная схема стержня при температурном воздействии
1. Составим уравнение равновесия: 
, 
·
2. Отбросим правую заделку, составим уравнение совместности деформаций:
·
отсюда по абсолютной величине
,
где 
;
– коэффициент линейного температурного расширения.
3. Согласно закону Гука имеем:
.
,
где А – площадь поперечного сечения стержня.
4. Определим температурные напряжения:
.
Полученная формула справедлива лишь для определения напряжений в стержнях постоянного сечения с жесткой заделкой обоих концов.
Из этой формулы следует, что в статически неопределимых системах изменение температуры вызывает дополнительные напряжения. Они будут сжимающими при повышении температуры и растягивающими при понижении температуры. В статически определимых системах температурные напряжения не возникают. Для снятия температурных напряжений в практике широко применяются температурные швы и зазоры.
Задача 7. Стержень АВ состоит из двух соединенных между собой частей. Верхняя часть АС (рис. 4.16) – медная, имеет площадь поперечного сечения Ам = 25 см 2 , а нижняя СВ – стальная, имеет площадь поперечного сечения Аст = 12,5 см 2 . Между нижним концом стержня В и неподатливой опорой оставлен зазор Δ = 0,2 мм. Найти напряжения в обеих частях стержня при повышении температуры на Δt = 60 ○ С и проверить его прочность, если [σ]м = 40 МПа, [σ]ст = 160 МПа.
Рис. 4.16. а – схема составного стержня;
б – отсеченная нижняя часть стержня
Определяем температурное удлинение составного стержня (рис. 4.16, а):
Так как Δ = 0,2 мм, то зазор между нижним концом стержня В и неподатливой опорой будет перекрыт и в опорах возникнут реакции.
2. Составим уравнение равновесия (рис. 4.16, а):
3. Составим уравнение совместности деформаций (рис. 4.16, а, б):
.
.
4. Согласно закону Гука определим 
для составного стержня:
см,
5. Определим значения нормальных напряжений в сечениях составного стержня:
; 
.
6. 
> 
; 
2 , А2 = 10 см 2 , E1 = E2 = 2´10 4 
, l1 = = 1,2 м, l2 = 1,5 м, а = 1 м, 
.
Рис. 4.17. а – схема балки, подвергаемой температурному воздействию; б – расчетная схема для определения температурных напряжений в стержнях 1 и 2
1. Определим деформацию стержня 1 от температурного воздействия:
.
2. Деформацию стержня 2 определим из выражения
, откуда 
см.
3. Определим нормальные усилия, возникающие в стержнях 1 и 2:
кН;
кН.
4. Определим напряжения, возникающие в стержнях 1 и 2:
; 
.
4.8. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.Для заданной схемы нагружения бруса (рис. 4.18) построить эпюру нормальных сил и напряжений.
Рис. 4.18. Схема нагружения бруса
Задача 10.Стальной ступенчатый стержень нагружен, как показано на рис. 4.19 Площади поперечных сечений соответственно равны: А1 = 8 см 2 ; А2 = 5 см 2 ; А3 = 2см 2 . Проверить прочность и жесткость стержня, если [σ] = 160МПаи [Δl] = 3мм.
Рис. 4.19. Схема нагружения ступенчатого бруса
Задача 11.Определить, какой должна быть площадь поперечного сечения A деревянной колонны (сосна), длиной l = 2 м, сжимаемой силой F = 30 кН, чтобы опускание верхнего конца колонны не превышало 3 мм (рис. 4.20). Допускаемое напряжение [σ] = 10 МПа, Е = 10 4 МПа.
Задача 12.Определить наибольшее значение допускаемой силы F для ступенчатого бруса, если [σ]р = 40 кПа, [σ]cж = 120 кПа. Площадь поперечного сечения соответственно равна А = 10 см 2 , А1 = 2А (рис. 4.21).
Рис. 4.21. Схема нагружения бруса
Задача 13.Жесткий стержень ВС, шарнирно прикрепленный к стене в точке В, опирается на стойку 1 и поддерживается стержнем 2 (рис. 4.22). Определить допускаемую нагрузку F, если стойка и стержень стальные и имеют одинаковую площадь поперечного сечения A = 20 см 2 . Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа.
Рис. 4.22. Схема нагружения стержня
Задача 14.Медный круглый стержень вставлен в стальную трубу (рис. 4.23). Длина медного стержня больше длины стальной трубы на Δ = 0,05 мм. Какая должна быть приложена к жесткой плите нагрузка, чтобы после сжатия стержня и трубы в их сечениях возникли напряжения сжатия одинаковой величины, если их площади сечений одинаковы и равны А = 40 см 2 .
Рис. 4.23. Схема нагружения стержня
Задача 15.Определить усилия в четырех ножках стола, изображенного на рис. 4.24. Крышку стола и пол считать абсолютно твердыми.
Рис. 4.24. Схема нагружения стола
4.9. Контрольные вопросы
1. Что такое растяжение (сжатие) бруса (стержня) при осевом действии внешней нагрузки?
2. Какие внутренние силовые факторы возникают при центральном растяжении (сжатии)?
3. Как формулируется закон Гука, какова область его применения при осевом растяжении (сжатии) бруса?
4. Что такое напряжения и деформации при осевом растяжении (сжатии)? Как они определяются?
5. Что такое модуль упругости первого рода и коэффициент Пуассона при осевом растяжении (сжатии)? От чего они зависят?
6. Как построить эпюры нормальных усилий, напряжений и перемещений характерных сечений бруса при одноосном растяжении (сжатии)?
7. Как формулируются условия прочности и жесткости при растяжении (сжатии) бруса?
8. Какие виды расчетов вытекают из условий прочности и жесткости одностержневых систем при растяжении (сжатии)?
9. Потенциальная энергия упругой деформации. Как она определяется при одноосном растяжении (сжатии) бруса?
10. Какие системы называются статически неопределимыми при растяжении (сжатии)? Виды этих систем.
11. Как осуществляется расчет статически неопределимых одностержневых и многостержневых систем при действии на них температурных нагрузок и технологических неточностей?
12. В чем заключается особенность расчета напряжений и деформаций при учете собственного веса системы?
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Источник