Примеры решения задач по теме.
Пример № 1 Для некоторой точки тела известен тензор напряжений:
Tσ =
Разложить Tσ на шаровой и девиатор напряжений.
Решение: Tσ = Тш + Dσ
Tш = =
Тш =
Dσ =
Пример № 2 Дан тензор напряжений
Tσ =
Определить главные напряжения σ1; σ2; σ3 .
Решение: т.к σ2 =0, то схема напряженного состояния плоская
σ1,3 =
Пример № 3 Определить напряжённое состояние (построить схемы напряжений) деформируемого тела по составляющим девиатора напряжений, если тензоры напряжений равны:
Tσ = Tσ =
Пример № 4 Напряженное состояние заданно тензором:
Tσ =
Определить величину главных нормальных и главных касательных напряжений, действующих на площадках главных касательных напряжений.
Пример № 5 Напряженное состояние задано тензором:
Tσ =
Определить октаэдрические σ: (Sокт , σокт , τокт) , главные касательные напряжения, величины σ12 ; σ23 ; σ31 действующие на площадках главных касательных напряжений.
Sокт =
σокт = σср =
τокт=
;
;
Дата добавления: 2015-06-12 ; просмотров: 2120 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Разложение тензора напряжений
Тензор напряжений может быть разложен на два тензора – шаровой и девиатор, т.е.. Их компоненты связаны зависимостью
,
где .
Главные значения девиатора напряжений определяются из решения кубического уравнения, полученного при раскрытии определителя:
,
,
;
;
.
При изучении сплошного напряженного состояния важное значение имеет октаэдрическое касательное напряжение , интенсивность нормальныхи касательныхнапряжений, которые определяются по выражениям в главных осях:
,
,
.
Показать запись второго инварианта девиатора напряжений через его главные значения.
Определить величину первого инварианта девиатора напряжений .
Разложить тензор напряжений для линейного напряженного состояния:
Дать схемы главных напряжений для тензора напряжений, шарового тензора и девиатора.
Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только упругое изменение объема, а изменения формы не происходит.
Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только изменение формы, а упругого изменения объема не происходит.
Объяснить, почему составляющая девиатора напряжений в направлении главной оси 1 будет положительной, а в направлении главной оси 3 – отрицательной.
4.7 Для некоторой точки тела известен тензор напряжений .
Разложить его на шаровой тензор и девиатор, посчитать инварианты тензора.
Решение. Найдем компоненты шарового тензора
.
Определим компоненты девиатора
.
Инварианты тензора будут следующие:
;
;
.
4.8 Разложить тензоры напряжений (МПа)
, ,
,
на шаровые и девиаторы; определить значения второго инварианта девиатора.
4.9 Два тела из одинакового материала испытывают однородное напряженное состояние. Известен тензор напряжений для однородного тела
.
Составить тензор для второго тела, если известно, что относительное изменение объема обоих тел одинаково, а девиатор для второго тела
.
Определить также главные значения полученного тензора.
4.10 Для точки тела известны девиатор напряжений
и одно из нормальных напряжений, например МПа. Определить тензор напряжений.
4.11 Для точки тела известен первый инвариант тензора напряжений МПа и девиатор напряжений
.
Определить главные значения девиатора напряжений, а через них и главные нормальные напряжения. Записать тензор напряжений.
4.12 Напряженные состояния записываются в виде тензоров:
, .
Разложить их на шаровые тензоры и девиаторы, определить их значение из условия равенства нулю одного из главных значений девиатора напряжений.
4.13 В теории пластичности широко используется показатель
,
где .
Рассмотреть его значения для следующих частных случаев:
двустороннее растяжение при ;
двустороннее сжатие при ;
чистый сдвиг, когда .
Достаточно ли этого показателя, чтобы полностью охарактеризовать напряженное состояние?
4.14 Показать различные варианты записи через отношения напряжений.
4.15 Главные компоненты тензора напряжений могут быть представлены следующим образом:
, ,,
где ,и т.д.
Какие значения принимают ,,идля случаев, указанных в задаче 4.12.
4.16 В каких случаях напряженное состояние может быть полностью охарактеризовано отношением двух напряжений ?
Источник