Векторные диаграммы напряжений в rlc цепях

Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи

Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи

Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи (рис. 3) соответствует комплексной схеме замещения цепи и правилам качественного построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи

Изображены два варианта ВД: в центре рисунка ВД построена с использованием суммирования векторов по правилу треугольника (на ВД указаны комплексные амплитуды), а справа – по правилу параллелограмма (на ВД указаны комплексные действующие значения).

ВД позволяет рассчитать УСР в цепи на основании очевидных из геометрии ВД формул

U = U R 2 + ( U L − U C ) 2 ; φ = α u − α i = a r c t g U L − U C U R .

Очевидно, при Z_L = Z_C имеем U_L = U_C, то есть участок LC ≡ КЗ и в цепи простейший резонанс напряжений, когда u_R = u, а синусоиды u_L(t), u_C(t), имея равные амплитуды, находятся в противофазе и поэтому полностью компенсируются.

При резонансе ток в цепи совпадает по фазе с напряжением, приложенным к цепи, а характер нагрузки чисто активный.

Если Z_L > Z_C, имеем U_L > U_C, φ > 0, то есть напряжение опережает ток и цепь имеет индуктивный характер.

Источник

Последовательная RLC-цепь

Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности.

Напряжение на зажимах цепи

Выполнив подстановку, получим

Подставим в последнее выражение ток в цепи, зная, что он равен

В итоге получим выражение

Из этого выражения можно увидеть сдвиг фаз каждого элемента. У резистора он отсутствует, то есть напряжение и ток совпадают по фазе, у катушки индуктивности напряжение опережает ток на угол π/2, а у конденсатора, напротив, отстает.

Сдвиг фаз RLС-цепи можно определить по формуле

Полное сопротивление RLС-цепи

Амплитудное значение тока

При построении векторной диаграммы RLC-цепи возможны три случая:

1 – Цепь носит активный характер, сдвиг фаз равен нулю, индуктивное и емкостное сопротивления равны. При этом в такой цепи наблюдается резонанс напряжений.

2 – Цепь носит индуктивный характер, в этом случае индуктивное сопротивление больше чем емкостное.

На векторной диаграмме, как правило, сначала откладывают вектор напряжения на катушке индуктивности, а затем из него вычетают напряжение на конденсаторе. После этого проводят вектор общего напряжения и определяют сдвиг фаз φ.

3 – Цепи носит емкостной характер, при этом емкостное сопротивление больше чем индуктивное.

Построение векторной диаграммы выполняется аналогично цепи индуктивного характера, за тем исключением, что здесь сдвиг фаз отрицателен и вычитается индуктивное напряжение из напряжения на емкости.

Цепь состоит из последовательно включенных резистора сопротивлением 25 Ом, конденсатора емкостью 200 мкФ и катушки индуктивности 30 мГн. Ток, протекающий в цепи, равен 0,75 А. Определите U,U_R,U_L,U_C,φ. Постройте векторную диаграмму и определите характер цепи.

Найдем напряжение на каждом из элементов

Из векторной диаграммы можно сделать вывод, что цепь носит емкостной характер.

Источник

Анализ цепи с последовательным соединением

Схема цепи с последовательным соединением элементов

В общем случае любое реальное устройство, содержащееся в электрической цепи, может быть представлено в схеме замещения тремя идеальными элементами. Поэтому целесообразно при анализе цепей синусоидального тока знать соотношение тока и напряжения для участка цепи с тремя последовательно соединенными элементами: резистором, идеальным индуктивным и идеальным емкостным элементами.

Схема замещения такой неразветвленной цепи показана на рис. 23.

Рис. 23. Схема цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Под действием синусоидального напряжения в цепи возникает синусоидальный ток . Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением этой цепи по величине и по фазе.

Синусоидальный ток с амплитудой и начальной фазой , изображается в виде:

По второму закону Кирхгофа для контура рассматриваемой цепи полное напряжение цепи соотносится с напряжениями на отдельных элементах в виде:

Как показано ранее (51), (71), (90), напряжение на каждом из элементов соотносятся с током в соответствии с законом Ома:

Ток во всех элементах при их последовательном соединении одни и тот же. Тогда выражение (98) может быть представлено в виде:

или

Здесь

— комплексное полное сопротивление цепи с тремя последовательно соединенными элементами.

Таким образом выражение (103) определяет соотношение между комплексным током и комплексным напряжением также в форме закона Ома: комплексный ток в цепи с тремя последовательно соединенными элементами прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному полному сопротивлению этой цепи.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Модуль и аргумент комплексного полного сопротивления определяются параметрами отдельных элементов.

Исходя из (104), модуль комплексного полного сопротивления

где — реактивное сопротивление цепи.

Аргумент комплексного полного сопротивления

В соответствии с законом Ома в комплексном виде для этой цепи (103),

Исходя из полученного выражения (107), действующее значение тока

или

Как видно, действующие значения тока и напряжения в этой цепи также определяется полным сопротивлением Z в форме закона Ома. По фазе напряжение опережает ток на угол . При этом полное сопротивление и разность фаз определяются соотношением сопротивлений трех элементов в соответствии выражениями (105) и (106).

Тот же результат может быть получен посредством наглядного графического изображения тока и напряжений на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи показана на рис. 24.

Здесь начальная фаза тока принята произвольно равной нулю . При этом вектор тока направлен вдоль вещественной оси комплексной плоскости.

Рис. 24. Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением элементов L, R, С.

Вектор напряжения индуктивного элемента повернут относительно вектора тока на в сторону опережения в соответствии со свойствами этого элемента (66). Вектор напряжения резистора направлен вдоль вектора тока в соответствии с характеристиками резистора (47). Вектор напряжения емкостного элемента повернут на угол относительно вектора тока в сторону отставания в соответствии со свойствами емкостного элемента (85). Длина векторов напряжений определяется их действующими значениями по закону Ома для каждого из элементов в соответствии с (67), (46), (83).

Соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа (98) на векторной диаграмме соответствует векторному сложению. При этом вектор полного напряжения цепи на рис. 24 определяется суммой трех векторов напряжений на отдельных элементах:

Из построенной векторной диаграммы возможен анализ соотношения тока и полного напряжения цепи. Для этого выделим на векторной диаграмме прямоугольный треугольник ОАВ (рис. 25).

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов. Обозначить ОАВ

Нижний катет треугольника пропорционален напряжению резистора, которое определяется его активным сопротивлением, и его называют активной составляющей напряжения . Правый катет треугольника пропорционален разности напряжений двух реактивных элементов: индуктивного и емкостного, и его называют реактивной составляющей напряжения:

Гипотенуза треугольника пропорциональна величине полного напряжения цепи U. Угол определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником напряжений и используют для наглядного представления соотношения между отдельными составляющими напряжений при анализе цепи с последовательным соединением R,L,C -элементов.

Поделим стороны треугольника напряжений на величину тока . При этом получается подобный треугольник (рис. 26) со сторонами:

Рис. 26. Треугольник сопротивлений цепи с последовательным соединением элементов.

— активное сопротивление резистора;

— реактивное сопротивление, определяемое разностью индуктивного и емкостного сопротивлений;

— полное сопротивление цепи, определяющее соотношение по величине тока и полного напряжения.

Угол определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником сопротивлений и используют для наглядного представления соотношения между сопротивлениями отдельных элементов и полным сопротивлением цепи с последовательным соединением R,L,C — элементов.

По теореме Пифагора для треугольника сопротивлений модуль полного сопротивления

Он определяет соотношение по величине между током и полным напряжением.

Из того же треугольника разность фаз для всей цепи

Она описывает соотношение по фазе между током и полным напряжением и определяет аргумент комплексного полного сопротивления.

Таким образом, комплексное полное сопротивление может быть записано в виде:

Оно определяет соотношение между током и напряжением по закону Ома в комплексном виде:

При этом модуль комплексного полного сопротивления Z определяет соотношение по величине действующих значений напряжения и тока: , а аргумент комплексного сопротивления определяет соотношение синусоидальных напряжения и тока по фазе:

Полученные при графическом анализе выражения (112) — (115) соответствуют записанным ранее (105) — (107).

Эти выражения справедливы для цепи, содержащей в общем случае три идеальных элемента, соединенные последовательно. В частности, реальное устройство может быть представлено эквивалентной схемой с двумя или одним идеальным элементом. В этом случае полученное выражение также верно. Следует лишь формально принять сопротивление отсутствующего элемента равным нулю.

Пример задачи с решением

Для цепи на рис. 21 определить напряжение источника, используя понятие полного комплексного сопротивления.

Рассматривая эту цепь как частный случай цепи с тремя идеальными элементами, можно принять емкостное сопротивление равным нулю . При этом комплексное полное сопротивление

Напряжение всего участка по закону Ома в комплексном виде:

Аналогичным образом можно определять комплексное полное сопротивление участка цепи, содержащего два других идеальных элемента, или один из них.

Используя графические изображения в форме треугольников напряжений и сопротивлений, можно записать выражения, полезные при расчете и анализе такой электрической цепи:

Для анализа энергетических соотношений в цепи с последовательным соединением R, L, С — элементов определим характер изменения мгновенной мощности в этой цепи:

Или, используя действующие значения тока и напряжения,

Как видно из полученного выражения (121), мощность в рассматриваемой цепи изменяется во времени по гармоническому закону с двойной частотой. При этом колебания мощности происходят вокруг среднего значения, определяемого первым слагаемым в правой части этого выражения.

Среднее значение мощности определяет активную мощность. Тогда активная мощность

или

Как видно, активная мощность определяется мощностью резистора. Произведение действующих значений тока и полного напряжения цепи называют полной мощностью

Единица полной мощности — ВА, кВА, МВА.

Исходя из (123 ) и (124) соотношение активной и полной мощностей:

, или

Активная мощность определяет необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, т.с. полезную работу, совершаемую током в электрической цепи. В общем случае активная мощность является частью общего значения тока и определяется произведением текущего значения тока на общее напряжение. Этот процент активной мощности определяется по уравнению (125). Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности. Принимая во внимание выражение (125), коэффициент мощности обозначают

Коэффициент мощности можно определить соотношением сопротивлений отдельных элементов, например, исходя из треугольника сопротивлений (рис. 26):

Графически соотношение активной и полной мощности отображается треугольником мощностей. Для построения треугольника мощностей умножим треугольник напряжений на действующее значение тока. При этом образуется подобный прямоугольный треугольник (рис. 27).

Рис. 27. Треугольник мощностей цепи с последовательным соединением элементов.

Нижний катет треугольника пропорционален активной мощности:

Правый катет треугольника пропорционален величине:

Это реактивная мощность всей цепи.

Гипотенуза треугольника оказывается равной полной мощности:

Из треугольника мощностей:

или

Что соответствует полученным ранее выражениям.

При выполнении расчетов в комплексном виде комплексное значение полной мощности определяется произведением комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

Здесь сопряженный комплексный ток. Тогда:

В рассматриваемой цепи с последовательным соединением R, L, С — элементов при разном соотношении сопротивлений элементов создается разный режим работы. При этом характер цепи определяется разностью фаз (/>, значения которой могут быть положительными или отрицательными в диапазоне от

Ниже рассматриваются режимы работы цепи при разных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Показанная на рис. 24 векторная диаграмма построена в предположении, что индуктивное сопротивление больше емкостного . Реактивное сопротивление всей цепи положительно:

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе больше емкостного:

Разность фаз всей цепи оказывается положительной, т.е. полное напряжение опережает по фазе ток на угол , больший нуля:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима имеют вид, показанный на рис. 26,27.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и положительной реактивной мощностью Положительное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность больше емкостной, т.е. индуктивный элемент преобладает над емкостным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-индуктивным.

При сопротивлении индуктивного элемента, меньшим емкостного,

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе меньше емкостного:

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 28.

Рис. 28. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при

Разность фаз всей цепи оказывается отрицательной, т.е. полное напряжение отстает по фазе от тока:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима показаны на рис. 29.

Рис. 29. Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей при

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и отрицательной реактивной мощностью Отрицательное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность меньше емкостной, т.е. емкостный элемент преобладает над индуктивным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-емкостным.

Особый режим работы цепи возникает при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений:

Реактивное сопротивление всей цепи оказывается равным нулю:

При этом в соответствии с законом Ома напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между собой:

а реактивное напряжение равно нулю:

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 30.

Рис. 30. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при

Разность фаз всей цепи оказывается равной нулю, т.е. полное напряжение совпадает по фазе с током:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима вырождаются в отрезок, поскольку один катет становится равным нулю.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р . Реактивная мощность равна нулю . При этом активная мощность равна полной мощности:

а коэффициент мощности равен

Отсутствие реактивной мощности при наличии в цепи индуктивного и емкостного элементов свидетельствует о том, что реактивная индуктивная мощность и реактивная емкостная мощность взаимно компенсируются. При этом цепь имеет активный характер, поскольку обладает лишь активной мощностью.

Явление, возникающее в неразветвленной цепи с элементами L, R, С, когда полное напряжение и ток совпадают по фазе, называется резонансом напряжений.

Условие резонанса напряжений:

Создать резонанс напряжений в цепи можно изменяя параметры L или С при неизменной частоте, или изменяя частоту при заданных параметрах L и С.

Рассмотрим случай, когда £ и С неизменны при изменении частоты. На рис. 31 показаны зависимости сопротивлений и тока цепи от частоты

Рис. 31. Зависимости от частоты.

В точке . При этом полное сопротивление минимально и определяется лишь активным сопротивлением резистора:

Эта точка определяет резонансную частоту

Ток цепи в этом режиме наибольший:

Активная мощность определяется величиной резонансного тока:

Аналогичным образом возникает режим резонанс напряжений при неизменной частоте и изменении индуктивности индуктивного элемента, либо емкости емкостного элемента. При установлении равенства индуктивного и емкостного сопротивлений возникает резонанс напряжений. При этом полное сопротивление цепи минимально, а ток максимальный.

Признаком резонанса напряжений в цепи является максимальное значение тока и активной мощности

Резонанс напряжений используется в радиотехнических цепях при построении схем резонансных фильтров. При этом свойства цепи оказываются различными для сигналов разных частот.

В электротехнических установках частота неизменна. Здесь возникновение резонанса напряжений обусловлено изменением параметров элементов. При при резонансе напряжений возможны перенапряжения на отдельных участках цепи.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник