Как найти радиус вписанной сферы в цилиндр

Расчет радиуса вписанной сферы в цилиндр – это вопрос, который может казаться сложным для тех, кто не знаком с геометрией. Но на самом деле, это не так уж и сложно. Рассмотрим подробную инструкцию и узнаем, что необходимо для расчета.

Прежде чем начать расчет радиуса вписанной сферы, нужно понять, что такое вписанная сфера в цилиндр. Вписанная сфера проходит через все вершины основания цилиндра и касается всех его боковых граней.

Такой расчет может быть полезен для различных задач, например, для определения объема материала, который необходимо использовать для изготовления детали в форме цилиндра, или для расчета объема жидкости, который может поместиться в контейнере в форме цилиндра.

Что такое вписанная сфера и для чего нужна ее радиус?

Что такое вписанная сфера?

Вписанная сфера — это сфера, которая касается всех сторон фигуры, описывающей этот объект. В контексте данной темы мы рассматриваем ситуацию, когда объектом является цилиндр. Таким образом, вписанная сфера — это сфера, которая касается всех боковых граней и основания цилиндра.

Для чего нужна радиус вписанной сферы?

Радиус вписанной сферы является важным параметром при решении задач, связанных с цилиндрами. Если нам известен радиус вписанной сферы цилиндра, мы можем определить диаметр этой сферы, который будет равен диаметру цилиндра. Это может быть полезно при расчете объема цилиндра или его площади поверхности. Кроме того, зная радиус вписанной сферы, мы можем определить расстояние между противолежащими гранями цилиндра (длину диагонали), что также может быть полезно при решении задач.

Как найти высоту цилиндра?

Высота цилиндра — это расстояние между основаниями. Чтобы найти высоту, необходимо измерить расстояние между двумя плоскостями, которые являются основаниями цилиндра.

Если основания цилиндра имеют форму кругов, то высоту можно вычислить по формуле:

h = V / S

где V — объем цилиндра, S — площадь основания.

Если известен радиус основания и объем цилиндра, то высота может быть вычислена по формуле:

h = V / pi * r²

где r — радиус основания цилиндра.

Также высоту можно вычислить, зная диаметр основания и радиус вписанной окружности:

Формула	Значения
h = d — 2r	d — диаметр основания; r — радиус вписанной окружности
h = sqrt(d2 — 4r2)	d — диаметр основания; r — радиус вписанной окружности

В любом случае, для вычисления высоты цилиндра необходимо знать хотя бы одно измерение — диаметр, радиус или объем.

Как найти диаметр основания?

Шаг 1. Найти площадь основания цилиндра

Для того чтобы найти диаметр основания цилиндра, необходимо сначала найти площадь его основания. Для цилиндра с плоскими основаниями это просто площадь круга, которую можно найти по формуле:

S=πr², где r – радиус основания.

Шаг 2. Использовать формулу для нахождения диаметра

После того, как вы найдете площадь основания цилиндра по формуле S=πr², можно легко найти диаметр основания, используя формулу:

d=√(4S/π), где d – диаметр основания.

Другими словами, чтобы найти диаметр основания, нужно удвоить радиус, умножив на 2, что даст диаметр, а затем применить к полученному значению корень, чтобы получить фактическое значение диаметра.

Как найти радиус вписанной сферы?

Радиус вписанной сферы является важным параметром многих геометрических фигур, в том числе и цилиндра. Этот параметр определяет расстояние от центра вписанной сферы до любой точки на ее поверхности.

Метод 1: с использованием высоты и образующей цилиндра

Для расчета радиуса вписанной сферы можно использовать формулу, которая связывает ее радиус с высотой и образующей цилиндра:

r = (h₁*h₂)/(h₁+h₂)

• h₁ — высота вписанной сферы
• h₂ — образующая цилиндра
• r — радиус вписанной сферы

Метод 2: с использованием диагонали основания цилиндра и его высоты

Другой способ расчета радиуса вписанной сферы — использовать диагональ основания цилиндра и его высоту:

r = D/2*sqrt(1/2 — (h/D)^2)

• D — диагональ основания цилиндра
• h — высота цилиндра
• r — радиус вписанной сферы

Оба метода дают точный результат для расчета радиуса вписанной сферы в цилиндре. Выбор метода зависит от доступных данных и удобства расчета.

Примеры решения задач на нахождение радиуса вписанной сферы в цилиндр

Пример 1

Дан цилиндр высотой 10 см и радиусом основания 6 см. Найдите радиус вписанной в него сферы.

Решение:

• Для начала найдем диагональ основания цилиндра: $d = 2r = 2 \times 6 = 12$ см.
• Далее найдем высоту правильной трапеции, образованной диаметром сферы, основанием и высотой цилиндра: $h = \sqrt{r^2 — \frac{d^2}{4}} + 10 = \sqrt{6^2 — \frac{12^2}{4}} + 10 = 6\sqrt{3} + 10$ см.
• Наконец, найдем радиус вписанной в цилиндр сферы по формуле: $r_{in} = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} + 10}{\sqrt{3}} \approx 8.16$ см.

Пример 2

Дан цилиндр высотой 15 см и радиусом основания 8 см. Найдите объем вписанной в него сферы.

Решение:

• Найдем диагональ основания цилиндра: $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ см.
• Найдем высоту правильной трапеции, образованной диаметром сферы, основанием и высотой цилиндра: $h = \sqrt{r^2 — \frac{d^2}{4}} + 15 = \sqrt{8^2 — \frac{16^2}{4}} + 15 = 7\sqrt{3} + 15$ см.
• Найдем радиус вписанной в цилиндр сферы по формуле, использовав за основание площадь основания цилиндра: $V_{in} = \frac{\pi h^2}{12} (3r — h) = \frac{\pi(7\sqrt{3}+15)^2}{12}(3 \times 8 — 7\sqrt{3}-15) \approx 1135.8$ куб. см.

Пример 3

Дан цилиндр высотой 12 см и диаметром основания 8 см. Найдите площадь поверхности вписанной в него сферы.

Решение:

• Найдем радиус основания цилиндра: $r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
• Найдем диагональ основания цилиндра: $d = 2r = 2 \times 4 = 8$ см.
• Найдем высоту правильной трапеции, образованной диаметром сферы, основанием и высотой цилиндра: $h = \sqrt{r^2 — \frac{d^2}{4}} + 12 = \sqrt{4^2 — \frac{8^2}{4}} + 12 = 4\sqrt{3} + 12$ см.
• Найдем радиус вписанной в цилиндр сферы по формуле: $r_{in} = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} + 12}{\sqrt{3}} = 4 + 4\sqrt{3}$ см.
• Наконец, найдем площадь поверхности вписанной в цилиндр сферы по формуле: $S_{in} = 4\pi r_{in}^2 = 4\pi(4 + 4\sqrt{3})^2 \approx 732.1$ кв. см.

Видео:

ЦИЛИНДР // КОНУС // ШАР

ЦИЛИНДР // КОНУС // ШАР by Простая математика 2 years ago 3 minutes, 43 seconds 26,054 views