Как определяется ток индуктивного элемента через заданное напряжение

Как определяется ток индуктивного элемента через заданное напряжение

Идеализированные элементы электрических цепей

Электротехническое устройство с происходящими в нем и в окружающем его пространстве физическими процессами в теории электрических цепей заменяется некоторым расчетным эквивалентом –электрической цепью (ЭЦ). Такая цепь состоит из идеализированных элементов активных и пассивных, которым теоретически приписываются определенные и магнитные свойства, так что процессы в электрической цепи приближенно отражают процессы в реальном устройстве, но могут быть проанализированы с использованием законов Ома и Кирхгофа.

Среди идеализированных элементов различают активные и пассивные элементы. К активным элементам относятся источники энергии (источники напряжения и источники тока). К пассивным элементам относятся резистивный элемент, индуктивный элемент и емкостной элемент.

Идеальный источник напряжения представляет собой элемент с двумя зажимами, напряжение на которых не зависит от сопротивления нагрузки ( или от тока нагрузки). Условное обозначение источника и его вольт-амперная характеристика представлены на рис.1.1, а,б сплошными линиями.

Стрелкой на рис. 1.1, а указано положительное направление ЭДС источника, т.е. направление возрастания потенциала в источнике. Идеальный источник напряжения представляет источник бесконечно большой мощности. Источник конечной мощности изображается в виде источника ЭДС с подключенным к нему последовательно элементом R, который ограничивает мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь . Вольт-амперная характеристика источника конечной мощности показана на рис.1.1,б штриховой линией.

Идеальный источник тока представляет собой элемент с двумя зажимами, ток во внешней цепи которого не зависит от сопротивления нагрузки ( или от напряжения на нагрузке). Условное обозначение источника и его вольт-амперная характеристика представлены на рис.1.2, а,б сплошными линиями.

Стрелкой на рис. 1.2, а указано направление перемещения положительных зарядов в источнике. Идеальный источник тока представляет источник бесконечно большой мощности. Источник конечной мощности изображается в виде идеального источника с подключенным к нему параллельно элементом R, который ограничивает мощность, отдаваемую источником во внешнюю цепь. Вольт-амперная характеристика источника конечной мощности показана на рис.1.2,б штриховой линией.

Резистивный элемент -идеализированный элемент ЭЦ, характеризующий потери энергии на нагрев, механическую работу или электромагнитное излучение в реальном электротехническом устройстве. Буквенное обозначение R используется как для обозначения самого резистивного элемента ( рис.1.3,а),

так и для количественной оценки отношения напряжения на его зажимах к току, через него протекающему.

Эта формула выражает закон Ома, экспериментально установленный в 1826 году. Величина g=1/R называется проводимостью и измеряется в Сименсах..

Если вольт-амперная характеристика (ВАХ) резистивного элемента линейна (рис.1.3,б),

то резистивный элемент называется линейным. Если задана ВАХ линейного резистивного элемента, то величина сопротивления его пропорционально тангенсу угла a наклона ВАХ к оси токов, т.е.

В силу пропорциональной зависимости (1.1) ток в линейном резистивном элементе всегда совпадает по форме с напряжением на его зажимах.

Для любого двухполюсника с мгновенным значением напряжения на его зажимах u и мгновенным значением тока, протекающего через его зажимы i , мгновенная мощность p , характеризующая мгновенную скорость изменения энергии в элементе, определяется произведением

Мгновенная мощность может быть положительной либо отрицательной в зависимости от соотношения знаков напряжения и тока. Если p > 0, то энергия поступает в элемент из внешней цепи. Если p 0, то энергия запасенная в элементе возвращается во внешнюю цепь. Сама энергия W всегда положительна и определяется интегралом от мгновенной мощности.

Для резистивного элемента мгновенная мощность всегда положительна и определяется как

Электрическая энергия, поступившая в резистивный элемент и превращенная в тепло, начиная с некоторого момента времени t=0 и до рассматриваемого момента t определяется интегралом

Превращение электрической энергии в тепловую впервые было доказано Джоулем и Ленцем опытным путем. Они установили тепловой эквивалент электрической энергии 0.24 кал/дж. Следовательно, количество тепла, эквивалентное рассеянной в резистивном элементе энергии , равно

Графики зависимостей i (t), p(t) и W R (t) при произвольной форме напряжения на зажимах резистивного элемента представлены на рис. 1.3,в.

Индуктивный элемент — идеализированный элемент ЭЦ, сходный по своим свойствам с катушкой индуктивности, способной запасать энергию магнитного поля. Он вводится в схему ЭЦ, если в реальном электро-техническом устройстве имеет место явление самоиндукции.

Условное обозначение индуктивного элемента приведено на рис. 1.4,а.

Буквенное обозначение L применяется как для обозначения на схеме самого индуктивного элемента, так и для количественной оценки отношения потокосцепления самоиндукции y к току i , его обус-лавливающему. Это отношение называется индуктивностью элемента и измеряется в Генри. Таким образом

Физически картина состоит в следующем. Переменный во времени ток i , протекая по виткам w катушки создает переменный магнитный поток Ф . Этот поток, пронизывая витки катушки, образует потокосцепление самоиндукции

Всякое изменение потокосцепления самоиндукции во времени на основании закона электромагнитной индукции Фарадея -Максвелла обуславливает ЭДС самоиндукции

По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции, эта ЭДС препятствует изменению потокосцепления. Это обстоятельство учитывается знаком (-) в приведенной формуле. Величина по знаку противоположная ЭДС носит название напряжения на индуктивности u L . Таким образом

Если магнитный поток катушки формируется в ферромагнитной среде, то зависимость потокосцепления самоиндукции от тока Y ( i ) в общем случае нелинейна (кривая 1 на рис. 1.4,б) и, следовательно, индуктивность катушки зависит от тока, через нее протекающего.

Это обстоятельство связано с непостоянством магнитной проницаемости ферромагнитного сердечника. Если сердечник неферромагнитный, то магнитная проницаемость его постоянна. В этом случае зависимость Y ( i ) линейна и индуктивность L является постоянной величиной.

Для линейного индуктивного элемента напряжение на зажимах u L связано с током следующей зависимостью

u L =- e L =d y /dt=d(L i )/dt=L d i /dt,

т.е. напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока, через него протекающего.

Если i =I=Const, то u L =0, и следовательно индуктивный элемент в цепи с источниками постоянного напряжения и тока в установившемся режиме можно заменить проводником с нулевым сопротивлением.

Если ток изменяется линейно ( i =At), то напряжение на индуктивном элементе постоянно (u L =LA).

Если известно напряжение на индуктивном элементе, то ток через него определяется интегралом

где нижний предел принят равным — Ґ в предположении, что до рассматриваемого момента времени процесс мог длиться сколь угодно долго. При t=0 имеем

для индуктивного элемента может быть и положительной и отрицательной , что зависит от знаков тока и производной тока. Если p>0, то энергия поступает из внешней цепи и запасается в индуктивном элементе. Если p

Как видно, в любой момент времени энергия пропорциональна индуктивности и квадрату тока, протекающего через индуктивный элемент. Графики зависимостей u L (t), p(t) и W L (t) при произвольной форме тока i L (t) через индуктивный элемент представлены на рис. 1.4,в.

Емкостной элемент- идеализированный элемент ЭЦ, сходный по своим свойствам с конденсатором, способным запасать энергию электрического поля.

Условное обозначение емкостного элемента приведено на рис. 1.5,а.

Буквенное обозначение С применяется как для обозначения на схеме самого емкостного элемента, так и для количественной оценки отношения заряда q к напряжению на конденсаторе u c Это отношение называется емкостью элемента и измеряется в Фарадах. Таким образом

Зависимость q(u c ) в общем случае нелинейна (кривая 1 на рис. 1.5,б) и, следовательно, емкость конденсатора зависит от от напряжения на его обкладках.

Если зависимость q(u c ) линейна, то емкость С является постоянной величиной и говорят о линейном емкостном элементе.

Для линейного емкостного элемента ток связан с напряжением u c следующей зависимостью

т.е. ток через емкостной элемент пропорционален скорости изменения напряжение на нем. Если du c /dt > 0, то ток положителен. Если du c /dt 0, то ток отрицателен.

Если u c =U =Const, то i =0, и следовательно, в цепи с источниками постоянного напряжения и тока в установившемся режиме ветвь с емкостным элементом можно исключить (разорвать).

Если напряжение изменяется линейно (u c =At), то ток в емкостном элементе постоянен ( i =СA).

Если известен ток емкостного элемента , то напряжение на нем определяется интегралом

где нижний предел принят равным — Ґ в предположении, что до рассматриваемого момента времени процесс мог длиться сколь угодно долго. При t=0 имеем

для емкостного элемента может быть и положительной и отрицательной , что зависит от знаков напряжения и производной напряжения . Если p>0, то энергия поступает из внешней цепи и запасается в емкостном элементе. Если p

Как видно, в любой момент времени энергия пропорциональна емкости элемента и квадрату напряжения на его зажимах. Графики зависимостей i (t), p(t) и W c (t) при произвольной форме u с (t) представлены на рис. 1.5,в.

Источник

Как определяется ток индуктивного элемента через заданное напряжение

Характеристики простейших пассивных двухполюсников в цепях синусоидального тока

Пусть напряжение на резистивном элементе с сопротивлением R (рис. 4.1а,б) синусоидально, т.е. u(t)= U m Sin ( w t+ y u ) .

Поскольку мгновенные значения напряжения и тока для резистивного элемента связаны законом Ома, то i (t)= u(t)/ R= (U m / R) Sin ( w t+ y u )

или i (t)= I m Sin ( w t+ y i ), где I m = U m / R и y i = y u .

а) при синусоидальном напряжении на резистивном элементе ток в нем также синусоидален;

б) синусоидальные напряжения и ток совпадают по фазе ( j = y u — y i =0) (рис.4.1,б);

в) амплитуда и действующее значение тока равны соответствующим значениям напряжения, деленным на R.

Мгновенная мощность в резистивном элементе определяется формулой

p(t)=u(t) i (t)=UI- UICos2 w t=p = +p

и иллюстрируется графиком на рис.4.1,б. Мощность пульсирует от нулевого значения до максимального, принимая только положительные значения. Это означает, что при любом направлении тока энергия поступает от источника в резистивный элемент и рассеивается в нем в виде тепла.

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность равна

Поскольку j =0, то реактивная мощность равна 0, т.е. Q = UISin j =0.

Полная мощность равна активной мощности, т.е. S=UI.

Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , получим выражение для комплексного сопротивления резистивного элемента в виде

а) комплексное сопротивление резистивного элемента содержит только активную составляющую ( реактивная составляющая равна нулю), т.е.

б) полное сопротивление резистивного элемента z=R;

в) аргумент комплексного сопротивления равен 0 ( j =0) и потому векторы напряжения на резистивном элементе и тока в нем совпадают по направлению ( рис. 4.1,в ) .

Комплексная проводимость резистивного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е.

а) комплексная проводимость резистивного элемента содержит только активную составляющую

б) полная проводимость резистивного элемента y=1/R;

в) аргумент комплексной проводимости равен 0 ( j =0).

Пусть ток в индуктивном элементе с индуктивностью L (рис. 4.2а,б) синусоидален, т.е. i (t)= I m Sin ( w t+ y i ).

Поскольку мгновенные значения напряжения на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока, то

u(t)=L d i /dt= I m w L Cos ( w t+ y i )= I m w L Sin ( w t+ y i + p /2)

или u(t)=U m Sin ( w t+ y u ), где U m =I m w L –амплитуда напряжения и y u = y i + p /2- начальная фаза напряжения.

а) при синусоидальном токе в индуктивном элементе напряжение на нем также синусоидально;

б) напряжение опережает по фазе ток на угол j = p /2 (рис.4.2,б);

в) амплитуда и действующее значение напряжения равны соответствующим значениям тока, умноженным на величину

называемую индуктивным сопротивлением.

Величина b L , обратная индуктивному сопротивлению, называется индуктивной проводимостью

Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на индуктивном элементе с ростом частоты пропорционально падает амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным p /2.

Мгновенная мощность в индуктивном элементе определяется формулой

и иллюстрируется графиком на рис.4.2,б. Мощность содержит только переменную синусоидальную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой . На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока совпадают, энергия поступает в индуктивность от источника, запасаясь в магнитном поле катушки. На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока различны, энергия запасенная в индуктивном элементе возвращается обратно источнику.

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность для индуктивного элемента равна нулю, т.е. Р= UICos( p /2)=0.

Поскольку j = p /2, то реактивная мощность положительна и равна

Полная мощность равна по величине реактивной мощности, т.е. S=UI.

Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , получим выражение для комплексного сопротивления индуктивного элемента в виде

Z L = , Ом

а) комплексное сопротивление индуктивного элемента содержит только реактивную составляющую ( активная составляющая равна нулю)., т.е. ;

б) полное сопротивление резистивного элемента z=x L ;

в) аргумент комплексного сопротивления равен p /2 ( j = p /2) и потому вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока в нем на p /2 ( рис. 4.2,в ) ;

Комплексная проводимость индуктивного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е.

Y L =1/ Z L = b L e -j p /2 =-jb L , См.

а) комплексная проводимость индуктивного элемента содержит только реактивную составляющую

б) полная проводимость индуктивного элемента y=b L ;

в) аргумент комплексной проводимости равен — p /2 ( j = p /2).

Пусть напряжение на емкостном элементе с емкостью С (рис. 4.3а,б) синусоидально, т.е. u(t)= U m Sin ( w t+ y u ).

Поскольку мгновенное значения тока в емкостном элементе пропорционально скорости изменения напряжения, то

i (t)=С du /dt= U m w C Cos ( w t+ y u )= U m w C Sin ( w t+ y u + p /2)

или i (t)= I m Sin ( w t+ y i ), где I m = U m w С –амплитуда тока и y i = y u + p /2)- начальная фаза тока.

а) при синусоидальном напряжении на емкостном элементе ток в нем также синусоидален;

б) ток опережает по фазе напряжение на угол p /2 ( j = — p /2) (рис.4.3,б);

в) амплитуда и действующее значение тока равны соответствующим значениям напряжения, умноженным на величину

называемую емкостным сопротивлением.

Величина b с , обратная емкостному сопротивлению называется емкостной проводимостью.

Как видно, при неизменной амплитуде напряжения на емкостном элементе с ростом частоты пропорционально растет амплитуда тока. Фазовый сдвиг между напряжением и током при всех частотах остается неизменным и равным — p /2.

Мгновенная мощность в емкостном элементе определяется формулами

и иллюстрируется графиком на рис.4.3,б. Мощность содержит только переменную синусоидальную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой . На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока совпадают, энергия поступает в емкость от источника, запасаясь в электрическом поле конденсатора. На интервалах периода, когда знаки напряжения и тока различны, энергия запасенная в емкостном элементе возвращается обратно источнику.

Средняя за период переменного тока (или активная) мощность для емкостного элемента равна нулю, т.е.

Поскольку j = — p /2, то реактивная мощность отрицательна и равна

Полная мощность по величине равна реактивной мощности, т.е.

Находя отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока , получим выражение для комплексного сопротивления емкостного элемента в виде

Z с = , Ом

а) комплексное сопротивление емкостного элемента содержит только реактивную составляющую ( активная составляющая равна нулю). Таким образом для емкостного элемента

б) полное сопротивление емкостного элемента z=x с ;

в) аргумент комплексного сопротивления равен — p /2 ( j =- p /2) и потому вектор напряжения на емкостном элементе отстает от вектора тока в нем на p /2 ( рис. 4.3,в ) .

Комплексная проводимость емкостного элемента есть величина обратная комплексному сопротивлению, т.е.

Y с =1/ Z с = b с e j p /2 =jb с , Сим

а) комплексная проводимость емкостного элемента содержит только реактивную составляющую

б) полная проводимость индуктивного элемента y=b с ;

в) аргумент комплексной проводимости равен p /2 ( j = — p /2).

Поскольку комплексные сопротивления и проводимости индуктивного и емкостного элементов содержат только реактивные составляющие, в литературе эти элементы часто называют реактивными элементами. Резистивный элемент, комплексное сопротивление и проводимость которого содержат только активные составляющие, называют активным сопротивлением.

Источник