Как записать зависимость напряжения от времени

11 класс

§ 32. Процессы при гармонических колебаниях в колебательном контуре

Гармонические колебания заряда, силы тока и напряжения.

Подобно тому как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно так же заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

q = q_msin (ωt + φ₀) или q = q_m cos (ωt + φ₀), (1)

где q_m — амплитуда колебаний заряда; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени q(0) = q₀, а i(0) = 0, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой φ₀ = 0 и амплитудой q_m = q₀:

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вывести груз из положения равновесия и не сообщать ему начальной скорости. Сила тока в контуре i = q’ (q’ — производная заряда по времени) также совершает гармонические колебания.

где I_m = ωq_m — амплитуда колебаний силы тока.

Сопоставив уравнения (1) и (2), можно сделать вывод, что колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на π/2 (рис. 6.5).

Напряжение на обкладках конденсатора также изменяется по гармоническому закону:

где U_m = q_m / C — амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Превращение энергии в колебательном контуре.

Как изменяются энергии электрического и магнитного полей в идеальном колебательном контуре? Для ответа на этот вопрос воспользуемся рисунком 6.6.

Поскольку потерь энергии в рассматриваемом контуре нет, энергия всей колебательной системы (контура) постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Рассмотрим момент, когда заряд конденсатора максимален и равен q_m, а ток отсутствует. В данном случае энергия магнитного поля катушки в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I_m, а конденсатор полностью разряжен. Энергия электрического поля конденсатора в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура запасена в катушке:

При отсутствии потерь на нагревание вещества и излучение электромагнитных волн максимальное значение энергии электрического поля конденсатора контура равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки:

где U_m — максимальное значение напряжения на конденсаторе; I_m — максимальное значение силы тока в катушке. Согласно закону сохранения энергии, сумма мгновенных значений энергий электрического и магнитного полей в колебательном контуре в любой момент времени остаётся неизменной:

где u — мгновенное значение напряжения на конденсаторе; i — мгновенное значение силы тока в катушке.

Итак, в идеальном колебательном контуре в отдельные моменты времени энергия всей колебательной системы может сосредоточиться либо только в катушке индуктивности, либо только в конденсаторе. В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но его перезарядки при этом не произойдёт.

Вопросы:

1. По какому закону изменяются сила тока, напряжение и заряд при свободных электромагнитных колебаниях в контуре?

2. Как можно определить амплитуду колебаний:

б) напряжения на обкладках конденсатора?

3. Чему равна разность фаз между колебаниями силы тока и заряда в идеальном колебательном контуре?

4. В какие моменты времени энергия всей колебательной системы равна максимальному значению:

а) энергии электрического поля;

б) энергии магнитного поля?

Вопросы для обсуждения:

Нa рисунке 6.7 показаны процессы, происходящие в идеальном колебательном контуре за один период, а на рисунке 6.8 — графики, выражающие зависимости мгновенных значений силы тока и напряжения от времени.

а) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, представленные на рисунке 6.7, в? Чему равна сила тока в катушке?

б) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, изображённые на рисунке 6.7, д? Чему равно напряжение на обкладках конденсатора?

в) Какие преобразования энергии происходят в рассматриваемом контуре?

Пример решения задачи

Сила тока в идеальном колебательном контуре изменяется по гармоническому закону i(t) = 0,02sin 500πt (А). Индуктивность контура равна 0,1 Гн. Определите период колебаний, ёмкость конденсатора, максимальную энергию электрического поля.

Эта энергия по закону сохранения энергии равна энергии колебательного контура W и максимальной энергии W_э электрического ноля:

W_м = W_э .

Определим период колебаний в контуре:

Для определения ёмкости конденсатора воспользуемся формулой Томсона:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: W_м = W_э = 2 • 10 -5 Дж; T = 4 • 10 -3 с; C = 4 мкФ.

Упражнения:

1. Чему равны амплитуда колебаний, период и циклическая частота, если заряд конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону:

а) q(t) = 3,5 ∙ 10 -5 cos 4πt (Кл);

б) q(t) = 5 ∙ 10 -6 cos 100πt (Кл);

в) q(t) = 0,4 ∙ 10 -3 sin 8πt (Кл)?

2. Заряд на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону q(t) = 4 • 10 -6 cos 4πt (Кл). Чему равна фаза колебаний заряда спустя 5 с после начала колебаний?

3. В колебательном контуре заряд на пластинах конденсатора с ёмкостью 1 мкФ изменяется с течением времени по закону q(t) = 10 -6 Cos 10 4 πt (Кл). Определите индуктивность контура. Запишите уравнения зависимости силы тока и напряжения от времени. Найдите период и частоту колебаний, амплитуды заряда, силы тока и напряжения.

4. Чему равны амплитуда и период гармонических колебаний, графики которых показаны на рисунке 6.9? Запишите уравнения зависимости q = q(t), i = i(t).

5. По графикам зависимости силы тока в колебательном контуре от времени (рис. 6.10) найдите период колебаний. Запишите уравнения зависимости силы тока и заряда от времени.

Источник

Переменный электрический ток

теория по физике 🧲 колебания и волны

Свободные электромагнитные колебания в контуре быстро затухают. Поэтому они практически не используются. Наиболее важное практическое значение имеют незатухающие вынужденные колебания.

Переменный ток — вынужденные электромагнитные колебания.

Ток в осветительной сети квартиры, ток, применяемый на заводах и фабриках, представляет собой переменный ток. В нем сила тока и напряжение изменяются со временем по гармоническому закону. Колебания легко обнаружить с помощью осциллографа. Если на вертикально отклоняющие пластины осциллографа подать напряжение от сети, то временная развертка на экране будет представлять сбой синусоиду:

Зная скорость движения луча в горизонтальном направлении (она определяется частотой пилообразного напряжения), можно определить частоту колебаний.

Частота переменного тока — это количество колебаний за 1 с.

Стандартная частота переменного промышленного тока составляет 50 Гц. Это значит, что на протяжении 1 секунды ток 50 раз течет в одну сторону и 50 раз — в другую. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США принята частота 60 Гц.

Если напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону, то напряженность электрического поля внутри проводника будет также меняться гармонически. Эти гармонические изменения напряженности поля вызовут гармонические колебания скорости упорядоченного движения заряженных частиц, и, следовательно, гармонические колебания силы тока.

При изменении напряжения на концах цепи электрическое поле не меняется мгновенно во всей цепи. Изменение поля происходит с большой скоростью, но она не бесконечно большая. Она равна скорости света (3∙10 8 м/с).

Переменное напряжение в гнездах розетки осветительной сети создается генераторами на электростанциях. Проволочную рамку, вращающуюся в постоянном однородном магнитном поле, можно рассматривать как простейшую модель генератора переменного тока (см. рисунок ниже).

Поток магнитной индукции Ф, пронизывающий проволочную рамку площадью S, пропорционален косинусу угла α между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции.

Численно магнитный поток определяется формулой:

При равномерном вращении рамки угол α увеличивается пропорционально времени:

где n — частота вращения. Поэтому поток магнитной индукции меняется гармонически:

Здесь множитель 2 π n представляет собой число колебаний магнитного потока за 2 π секунд. Это не что иное, как циклическая частота колебаний:

Согласно закону электромагнитной индукции ЭДС индукции в рамке равна взятой со знаком «минус» скорости изменения потока магнитной индукции, т.е. производной потока магнитной индукции по времени:

e = − Φ ´ = − B S ( cos . ω t ) ´ = B S ω sin . ω t = ε m a x sin . ω t

ε m a x — амплитуда ЭДС индукции, равная:

Напряжение в цепи переменного тока может меняться по закону синуса или по закону косинуса:

где U m a x — амплитуда напряжения (максимальное по модулю значение напряжения).

Сила тока меняется с той частотой, что и напряжение — ω . Но колебания тока необязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае сила тока i в любой момент времени определяется по формуле:

i = I m a x sin . ( ω t + φ с )

где I m a x — амплитуда силы тока (максимальное по модулю значение силы тока), φ с — разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

Пример №1. Найти напряжение в цепи переменного тока в момент времени t = π, если циклическая частота электромагнитных колебаний равна 300,25 Гц, а амплитуда напряжения составляет 12В. Считать, что напряжения меняется по закону косинуса.

u = U m a x cos . ω t = 12 cos . 300 , 25 π = 12 √ 2 2 . . ≈ 8 , 5 ( В ) .

Активное сопротивление в цепи переменного тока

Пусть цепь состоит из соединительных проводов и нагрузки с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (см. рисунок ниже).

Внимание! Ранее под величиной R мы понимали электрическое сопротивление. Но правильно его называть сопротивлением активным. Дело в том, что в цепи переменного тока могут быть сопротивления иного характера. Сопротивление же R называется активным, потому что при наличии нагрузки, обладающей этим сопротивлением, цепь поглощает энергию, поступающую от генератора. Эта энергия превращается во внутреннюю энергию проводников — они нагреваются.

Будем считать, что напряжение на зажимах цепи меняется по закону косинуса:

Для нахождения мгновенного значения силы тока мы можем воспользоваться законом Ома, так как эта величина прямо пропорционально мгновенному значению напряжения:

i = u R . . = U m a x cos . ω t R . . = I m a x cos . ω t

В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения, а амплитуда силы тока определяется равенством:

Мощность в цепи с резистором

В цепи переменного тока сила тока и напряжения меняются быстро, поэтому количество выделяемой энергии меняется так же быстро. Но заметить эти изменения невозможно. Чтобы найти среднюю мощность на участке цепи за много периодов, достаточно найти среднюю мощность за один период.

Средняя за период мощность переменного тока — отношение суммарной энергии, поступающей в цепь за период, к этому периоду.

Мощность постоянного тока определяется формулой:

Следовательно, мгновенная мощность в цепи переменного тока на участке с активным сопротивлением R равна:

Подставим в это выражение полученное ранее значение мгновенной силы переменного тока и получим:

p = ( I m a x cos . ω t ) 2 R

Вспомним из курса математики:

p = I 2 m a x 2 . . R ( 1 + cos . 2 ω t ) = I 2 m a x R 2 . . + I 2 m a x R 2 . . cos . 2 ω t

График зависимости мгновенной мощности от времени:

На протяжении первой четверти периода, когда cos . 2 ω t > 0 , мощность в любой момент времени больше величины I 2 m a x R 2 . . . На протяжении второй четверти периода, когда cos . 2 ω t 0 , мощность в любой момент времени меньше этой величины. Среднее за период значение cos . 2 ω t = 0 , следовательно, средняя за период мощность равна I 2 m a x R 2 . . .

Средняя мощность − p равна:

− p = I 2 m a x R 2 . . = − i 2 R

Пример №2. Сила переменного тока в цепи меняется по закону i = I m a x cos . ω t . Определить мгновенную мощность в момент времени t = 1 с, если циклическая частота колебаний ω = 100π Гц при сопротивлении R = 10 Ом. Амплитуда силы тока равна 1 А.

p = ( I m a x cos . ω t ) 2 R = 10 ( 1 · cos . ( 100 π · 1 ) 2 = 10 ( Д ж )

Действующие значения силы тока и напряжения

Из предыдущей формулы видно, что среднее значение квадрата силы тока равно половине квадрата амплитуды силы переменного тока:

Действующее значение силы переменного тока — величина, равная квадратному корню, взятому из среднего значения квадрата тока. Обозначается как I.

Смысл действующего значения силы переменного тока заключается в том, что оно равно силе постоянного тока, выделяющего в проводнике то же количество теплоты, что и переменный ток за это же время.

Аналогично определяется действующее значение напряжения U:

Именно действующие значения силы тока и напряжения определяют мощность P переменного тока:

Пример №3. Найти мощность переменного тока, если амплитуда силы тока равна 2 А, а сопротивление цепи равно 5 Ом.

P = ( I m a x √ 2 . . ) 2 R = I 2 m a x 2 . . R = 2 2 2 . . · 5 = 10 ⎛ ⎝ Д ж ⎞ ⎠

В идеальном колебательном контуре (см. рисунок) напряжение между обкладками конденсатора меняется по закону U_C = U₀cos ωt, где U₀ = 5 В, ω = 1000π с – «> – 1 . Определите период колебаний напряжения на конденсаторе.

Источник